Степень периодичности функции

[reterty]

Как известно почти периодические функции представимы в виде ряда Фурье с несозмеримыми (не кратными частотами). А вот с количественными критериями оценки степени периодичности есть некая проблемка. Конечно можно оценивать степень периодичности по величине квазипериода, определяемого из графика рекуррентности (recurrence plot). Есть еще довольно непрозрачный критерий, основанный на измерении энтропии Шеннона https://link.springer.com/article/10.10 ... 017-9161-8 . Давайте рассмотрим простейший случай ряда с двумя гармониками:

$$x(t)=A_{1}\cos(\omega_{1}t)+A_{2}\cos(\omega_{2}t)$$

, где $\alpha=\omega_{1}/\omega_{2}$-положительное число не являющееся рациональным. В математике существует мера нерациональности числа https://mathworld.wolfram.com/BadlyApproximable.html . Казалось бы, ее и можно принять за степень непериодичности. Но проблема в том, что что в общем случае гармоники входят в разложение с разными коэффициентами (амплитудами). То есть меру нерациональности нужно умножать на некую функцию отношения амплитуд. Может кто-то из участников форума подскажет ее вид или альтернативный вариант?

[zykov]

reterty в сообщении #1552188 писал(а):

А вот с количественными критериями оценки степени периодичности есть некая проблемка

А зачем эта количественная оценка нужна? (От ответа на этот вопрос будет зависить то как определять эту количественную оценку.)

[reterty]

zykov в сообщении #1552193 писал(а):

reterty в сообщении #1552188 писал(а):

А вот с количественными критериями оценки степени периодичности есть некая проблемка

А зачем эта количественная оценка нужна? (От ответа на этот вопрос будет зависить то как определять эту количественную оценку.)

Чтобы определить насколько данное колебание (хотя бы для случая автономных систем) может приближенно считаться периодическим или, наоборот относится к хаотическим колебаниям. Пример из теории затухающих колебаний: количественная характеристика -декремент затухания. Более того, чтобы этот параметр зависел от величины approximation constant https://mathworld.wolfram.com/BadlyApproximable.html

[reterty]

Мне кажется, я придумал интегральный критерий степени непериодичности. Интеграл от периодической функции, за вычетом постоянной составляющей ее ряда Фурье, по аргументу за основной период равен нулю. В теории почти периодических функций вводится понятие почти периода. Так вот, аналогичный интеграл от почти периодической функции за почти период будет отличен от нуля. Его значение, деленное на этот почти период и на большую из амплитуд гармоник ряда Фурье будет безразмерной величиной, характеризующей степень непериодичности данной почти периодической функции.

[zykov]

reterty в сообщении #1552194 писал(а):

Чтобы определить насколько данное колебание (хотя бы для случая автономных систем) может приближенно считаться периодическим

Вот это "может приближенно считаться периодическим" ещё надо наполнить прикладным смыслом.

Как один из возможных вариантов, можно взять автокорреляцию:

$$R_{A,B}(T)=\frac{\int_A^B f(t) f(t-T) \; dt}{\int_A^B f^2(t) \; dt}$$

Если процесс имеет неизменные характеристики для всех $t$, то можно взять предел $A$ к минус бесконечности, $B$ к плюс бесконечности.
Если характеристики процесса медленно меняются, то надо брать конечное окно размера $B-A$ много больше периода и много меньше характерного времени изменения характеристик.

[worm2]

Пытаясь осознать понятие "степень периодичности", ввёл в программку для рисования графиков две функции: $f(x)=\cos x+\cos\pi x$ и $g(x)=\cos x+\cos\varphi x$, где $\varphi=(\sqrt{5}+1)/2$ — константа золотого сечения.
И вы знаете, при некотором разрешении функция $f(x)$ визуально показалась мне явно периодичной, а вот $g(x)$ не казалась таковой ни при каком разрешении.
Некоторое время я поудивлялся этому факту. Но он имеет простое объяснение: разложение числа $\pi$ в цепную дробь имеет в начале аномально большой коэффициент, или, другими словами, число $\pi$ аномально хорошо приближается рациональной дробью $355/113$. В то время, как константа золотого сечения плохо приближается рациональными дробями (в некотором смысле "хуже всего").

Хотя едва ли то, что я тут написал, было неизвестно топикстартеру...

[waxtep]

worm2 в сообщении #1552350 писал(а):

а вот $g(x)$ не казалась таковой ни при каком разрешении

У меня получилось обмануть (свои, по крайней мере) глаза: график в вольфраме - вот параметрический график на той же странице ниже уже так просто не обманешь

-- 11.04.2022, 18:45 --

А, что и логично: $132\approx21\cdot2\pi\approx34\cdot2\pi(\sqrt5-1)/2$

[demolishka]

У почти периодической функции, скажем $f$, есть длина интервала включения $L(\varepsilon)$, т. е. такое число, что в любом отрезке длины $L(\varepsilon)$ содержится $\varepsilon$-почти период. Пусть $l(\varepsilon)$ есть наименьшее из таких чисел. Тогда можно рассмотреть величину (я её называю диофантовой размерностью)

$$\mathfrak{Di}(f) = \limsup_{\varepsilon \to 0+} \frac{\ln l(\varepsilon)}{\ln (1/\varepsilon)}.$$

Для квазипериодических функций $f(t)=\Phi(\omega_{1}t,\ldots,\omega_{m}t)$ можно дать оценку этой величины в терминах показателя совместной аппроксимации частот $\omega_{1},\ldots,\omega_{m}$ и показателя Гельдера $\Phi$. В приличных ситуациях это и есть что-то типа меры иррациональности.

Меня в свое время (начало магистратуры) эта величина интересовала, поскольку её можно использовать для оценки фрактальной размерности вынужденных почти периодических колебаний (почти периодических равномерных аттракторов), где часто из соображений синхронизации получается не только наследование частот, но также и оценки диофантовой размерности. Есть пара статей по теме — могу отправить в ЛС.

reterty в сообщении #1552194 писал(а):

Чтобы определить насколько данное колебание (хотя бы для случая автономных систем) может приближенно считаться периодическим или, наоборот относится к хаотическим колебаниям

На практике обычно вычисляются спектры Фурье и разные типы корреляционной размерности для различения периодических, квазипериодических и хаотических колебаний. Это конечно все не обосновано (как и подавляющее большинство численных оценок), поскольку теоретико-числовые явления могут проявляться неожиданным образом в пределе.

reterty в сообщении #1552188 писал(а):

в общем случае гармоники входят в разложение с разными коэффициентами

Если нам важна предельная ситуация, то какие там коэффициенты — не важно (главное чтобы были ненулевые). Если же нужен конечный промежуток времени, то мера иррациональности тут не причем (поскольку она — предельная). Так что надо выбрать, в пределе или нет рассматриваем задачу. А на конечном промежутке лучше спектра Фурье наверное ничего нет. Он как раз и амплитуды учитывает и частоты.