Свойства сопряженного оператора

[marie-la]

Пусть $X,Y$ - банаховы пространства, и $A\in B(X,Y) $ имеет замкнутый образ. Тогда
$\underset{Ax=b}{\inf} ||x||=\underset{||A^{*}y^{*}||\leq 1}{\max} <b,y^{*}>$

Я понимаю, что для любого $x$ с $Ax=b$ и для любого $y^{*}$ с $||A^{*}y^{*}||\leq 1$ будет $<b,y^{*}>\leq ||x||$, но почему достигается равенство, не пойму. Это надо теорему Хана-Банаха как-то применить? Замкнутость образа тут чтоб максимум вместо супремума написать? Или какой-то еще смысл есть? Совсем я запуталась, помогите :(