Кольцо с произвольным конечным числом операций

Vladimir Pliassov · 21/04/19 1232

Цитата:

Кольцо — множество $R$ , на котором заданы две бинарные операции: $+$ и $\times$ (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами ... (Википедия)

А возможно ли кольцо не с двумя, а с тремя или более операциями? -- тема настоящего сообщения.

1.

Пусть $R=\{0,1,2\}$ ,

$\begin{tabular}{1|111} +&0&1&2 \\ \hline 0&0&1&2\\ 1&1&2&0\\ 2&2&0&1 \end{tabular} \eqno (1)$
и

$\begin{tabular}{1|111} \times&0&1&2 \\ \hline 0&0&0&0\\ 1&0&1&2\\ 2&0&2&1 \end{tabular} \eqno (2)$
(1) это абелева группа (по сложению), (2) -- моноид с единичным элементом $1$ .

Из (2) можно выделить группу (по умножению)

$\begin{tabular}{1|11} \times&1&2 \\ \hline 1&1&2\\ 2&2&1 \end{tabular} \eqno (3)$
Но можно посмотреть иначе: в общем случае (то есть не только в рассматриваемом) берется полугруппа (с единицей или без) или группа по умножению (в нашем случае -- (3)), построенная на множестве $R\setminus 0,$ к ней добавляется поглощающий элемент (то есть ноль), при этом сохраняется операция умножения,

если бралась полугруппа, получается полугруппа (потому что в исходной структуре не было нейтрального элемента -- единицы, и он не появился), если брался моноид или группа, получается моноид (в нашем случае -- (2));

затем берется множество $R$ , на котором строится полученный моноид (в нашем случае -- (2)), на этом множестве строится абелева группа по сложению (в нашем случае -- (1));

полученная структура, состоящая из (1) и (2), является кольцом (в нашем случае -- с единицей).

Таким образом, порядок исходной структуры по умножению (построенной на множестве $R\setminus 0,$ ) на единицу меньше порядка группы по сложению. (Здесь мы имеем дело с конечными множествами).

При этом $0$ является нейтральным элементом для группы по сложению (в нашем случае для группы (1)) и одновременно поглощающим элементом для полугруппы по умножению (в нашем случае для моноида (2)), полученной из исходной мультипликативной структуры (в нашем случае из группы (3)).

2.

Относительно сложения нулевой элемент является нейтральным элементом.

Относительно умножения нулевой элемент является поглощающим, то есть относительно умножения суть нулевого элемента состоит в том, что при умножении любого элемента на ноль получается ноль.

(Отсюда следует, что ноль не может иметь обратного элемента, на чем основывается правило "на ноль делить нельзя".)

Для сравнения, относительно умножения суть единичного элемента состоит в том, что при умножении любого элемента на единицу получается умножаемый элемент.

То есть в кольце с двумя операциями (в обычном кольце) имеется два нейтральных элемента и один поглощающий.

3.

Здесь для меня $0,1,2$ это не числа, а просто элементы безотносительно к их величине. Забегая вперед, скажу что тем более $0_1,0_2, \ldots$ не имеют величины, по которой их можно было бы сравнить с $1,2, \ldots,$ даже если бы $1,2,\ldots,$ рассматривались как числа

( $0$ у меня это то же самое, что $0_1$ при отсутствии $0_2, 0_3, \ldots$ -- см. дальше).

Вообще, система, которую я пытаюсь построить, по-моему, не годится для чисел, потому что среди чисел, кажется, не может быть больше двух нейтральных элементов и больше одного поглощающего (по крайней мере, я не могу придумать такой третьей разумной операции вдобавок к обычным умножению и сложению, при которой они могли бы найтись),

то есть на числовом множестве, как я полагаю, может быть определено только две кольцевые операции -- умножения и сложения.

4.

Обозначим поглощающий элемент $0$ моноида (2) через $0_1$ . Введем еще один поглощающий элемент $0_2$ , более высокого ранга относительно операции $\times,$ то есть чтобы было

$0_2\times 0_1=0_1\times 0_2=0_2,$

получим моноид

$\begin{tabular}{1|1111} \times&0_2&0_1&1&2 \\ \hline 0_2&0_2&0_2&0_2&0_2\\ 0_1&0_2&0_1&0_1&0_1\\ 1&0_2&0_1&1&2\\ 2&0_2&0_1&2&1\\ \end{tabular} \eqno (4)$
с нейтральным элементом $1.$

[Из моноида (4) можно выделить группу второго порядка, то есть (3) (для этого взять правую нижнюю четверть таблицы (4) и убрать из нее первые две строки и первые два столбца).]

Пусть элемент $0_2$ будет поглощающим относительно операции $+$ на множестве $\{0_2,0_1,1,2\}$ в структуре, включающей в себя группу (1), в которой $0$ обозначим через $0_1,$ получим моноид

$\begin{tabular}{1|1111} +&0_2&0_1&1&2 \\ \hline 0_2&0_2&0_2&0_2&0_2\\ 0_1&0_2&0_1&1&2\\ 1&0_2&1&2&0_1\\ 2&0_2&2&0_1&1 \end{tabular} \eqno (5)$
с нейтральным элементом $0_1$ .

[Из моноида (5) можно выделить группу (1) (для этого взять правую нижнюю четверть таблицы (5) и убрать из нее первую строку и первый столбец).]

Введем еще одну операцию $\circ$ на множестве $\{0_2, 0_1, 1,2\}$ так, чтобы получилась группа

$\begin{tabular}{1|1111} \circ&0_2&0_1&1&2 \\ \hline 0_2&0_2&0_1&1&2\\ 0_1&0_1&1&2&0_2\\ 1&1&2&0_2&0_1\\ 2&2&0_2&0_1&1 \end{tabular} \eqno (6)$
(Из двух возможных групп четвертого порядка: циклической и Клейна, -- я выбрал циклическую, хотя мог бы выбрать группу Клейна -- она тоже коммутативная.)

Таким образом, на множестве $\{0_2, 0_1, 1,2\},$ определены три различные операции $\times, +,\circ$ так, что получились моноиды (4), (5) и абелева группа (6) соответственно.

То есть образовано кольцо $_3R$ с тремя операциями.

(Индекс слева от $R$ означает, сколько операций определено у кольца.)

При этом

$0_2$ является нейтральным элементом для группы (6) и одновременно поглощающим элементом для моноида (5), а также поглощающим элементом самого высокого ранга для моноида (4),

$0_1$ является нейтральным элементом для группы (1) и для моноида (5) и одновременно поглощающим элементом для моноида (2) (где $0_1$ обозначен как $0$ ), а также поглощающим элементом самого низкого ранга для моноида (4).

5.

Дистрибутивность.

$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c),$
$a\times (b\circ c)=(a\times b)\circ (a\times c),$
$a+(b\circ c)=(a+b)\circ (a+c).$
То есть в отношении дистрибутивности операции $\times$ и $\circ$ и операции $+$ и $\circ$ соотносятся так же как операции $\times$ и $+$ .

6.

Разумеется, по такому принципу можно построить кольцо с любым конечным числом операций.

Впрочем, эту структуру можно было бы назвать не кольцом, а цепью $_nR$ из $n$ звеньев (каждое из которых строится на множестве $R$ ),

так же как обычное кольцо (с двумя операциями) можно было бы назвать цепью из двух звеньев: первое звено -- полугруппа по умножению (с единицей или без), второе звено -- абелева группа по сложению.

При этом первое звено цепи $_nR$ (в нашем случае -- (4)), является полугруппой -- с единицей или без, -- (но не группой),

последнее (в нашем случае -- (6)) -- обязательно абелевой группой,

средние звенья (в нашем случае имеем одно среднее звено -- (5)) -- моноидами (но не группами).

Например, обычное кольцо $_2R$ состоит из полугруппы по умножению (с единицей или без) -- первое звено (у нас -- (2)), -- и абелевой группы по сложению -- последнее звено (у нас -- (1)).

Замечу еще, что при удалении поглощающих элементов из первого звена получается полугруппа, моноид или группа, а из всех остальных звеньев (не говоря о последнем, которое, как сказано, само является абелевой группой) -- абелевы группы.

Так что если мы из цепи $_nR$ убираем последнее звено и из каждой из оставшихся структур убираем поглощающий элемент высшего ранга, то получаем цепь $_{n-1}R$ . Например, из цепи $_3R,$ состоящей из (4), (5), (6) убираем (6), затем из (4), (5) убираем $0_2$ , получаем цепь $_2R$ , состоящую из (2) и (1).

То есть строить цепь $_nR$ можно следующим образом.

1) Берем полугруппу (с единицей или без) или группу по первой операции (например, группу (3) -- по операции $\times$ ),

2) в правой нижней части соответствующей таблицы окружаем ее $n-1$ слоями поглощающих элементов, получаем полугруппу или моноид ((4));

3) берем множество ( $\{0_2, 0_1, 1,2\}$ ), на котором построена полученная структура, убираем из него все поглощающие элементы, кроме поглощающего элемента низшего ранга (убираем $0_2$ );

4) на полученном множестве (на $\{0_1, 1,2\}$ ) строим абелеву группу ((1)) по второй операции (по $+$ );

1-a) берем полученную абелеву группу ((1));

2-a) окружаем ее $n-2$ слоями соответствующих поглощающих элементов, получаем моноид ((5));

и так далее, пока не получим последнее звено $_nR$ .

7.

Вопрос: на множестве каких объектов могла бы задаваться цепь $_nR$ ? На числах, как я уже сказал, она, по-моему, задаваться не может, на матрицах, на вычетах по модулю, на многочленах и на подмножествах, наверное, тоже.

bot · 21/12/05 5931 Новосибирск

И вся эта банальная лабуда с присоединением внешних нулей
имеет какой-нибудь смысл или цель?

Vladimir Pliassov в сообщении #1551530 писал(а):

на множестве каких объектов могла бы задаваться цепь $_nR$ ? На числах, как я уже сказал, она, по-моему, задаваться не может

А чем числа провинились?

ЗЫ. Кстати кольцо с произвольным числом операций - это уже не кольцо, плясцо, наверное.

Vladimir Pliassov · 21/04/19 1232

bot в сообщении #1551566 писал(а):

И вся эта банальная лабуда с присоединением внешних нулей
имеет какой-нибудь смысл или цель?

Имеется два вопроса:

1. Является ли предложенная система внутренне противоречивой?

Ответ: это пока еще не доказано.

2. Может ли эта система иметь применение на каких-нибудь объектах? Этот вопрос я задал сам, но сегодня мне пришел в голову положительный ответ, правда, он касается не математических, а социальных объектов.

Пусть имеется коллектив, в котором проводится акция "Укрепляем дружбу!" Каждая пара членов коллектива (каждая пара его элементов) должна сделать подарок некоторому члену этого же коллектива.

Если мы возьмем обычное кольцо (с двумя операциями), то есть цепь $_2R$ , то в таком коллективе имеется так называемый поглощающий элемент $0_1$ (его в случае кольца с двумя операциями можно обозначить просто как $0$ ), такой сильный и грубый, что с кем бы он ни приготовил подарок, забирает его себе.

Однако, если мы возьмем цепь $_3R$ (с тремя операциями), то в таком коллективе имеется элемент еще более сильный и грубый, чем $0_1$ , а именно, $0_2,$ он забирает себе подарок, приготовленный с любым другим элементом, в том числе и с $0_1.$

Это касается только одной операции, но для остальных операций, а также для нейтральных элементов (которых, так же как и поглощающих, может быть больше одного) остальное можно домыслить.

Отмечу, что в данном случае члены коллектива не являются сравнимыми по величине, то есть параллель между ними и числами не проводится. Это к вопросу

bot в сообщении #1551566 писал(а):

А чем числа провинились?

Они "провинились" тем, что не подходят для описанной системы. Или можно сказать, что система не подходит для них (как я и предположил). Однако, как только что показано, она подходит, например, для некоторого социального образования.

bot в сообщении #1551566 писал(а):

Кстати кольцо с произвольным числом операций - это уже не кольцо, плясцо, наверное.

Ну вот, видите, и название нашлось.

bot · 21/12/05 5931 Новосибирск

Vladimir Pliassov в сообщении #1551600 писал(а):

Является ли предложенная система внутренне противоречивой?

Что Вы подразумеваете под внутренней противоречивостью конструкции?

Vladimir Pliassov в сообщении #1551600 писал(а):

Пусть имеется коллектив, в котором проводится акция "Укрепляем дружбу!" Каждая пара членов коллектива (каждая пара его элементов) должна сделать подарок некоторому члену этого же коллектива.

Если мы возьмем обычное кольцо (с двумя операциями), то есть цепь $_2R$ , то в таком коллективе имеется так называемый поглощающий элемент $0_1$ (его в случае кольца с двумя операциями можно обозначить просто как $0$ ), такой сильный и грубый, что с кем бы он ни приготовил подарок, забирает его себе.

Основное множество - это члены коллектива, а операция просматривается лишь одна и то частичная. Или каждый член коллектива сам с собою тоже готовит кому-то подарок?

Vladimir Pliassov в сообщении #1551530 писал(а):

А возможно ли кольцо не с двумя, а с тремя или более операциями?

То есть теперь Вы допускаете уже кольцо с одной операцией, надеюсь ассоциативной? Автоматически этого ведь не произойдёт - пусть в трёхленном коллективе любые два из цикла (abc) готовят подарок третьему, а каждый сам с собою готовит оный следующему в цикле. Тогда ассоциативности нет: $(ab)c=cc=a\ne b=aa=a(bc)$ .
В общем, какое-то недокольцо получается, да ещё и с одной операцией, не тянет даже на полугруппу.

Предлагаю рассмотреть вопрос кардинально: рассмотреть кольцо с пустым множеством операций и этим ограничиться.

Vladimir Pliassov · 21/04/19 1232