Характеристические функции

[marie-la]

Здравствуйте! Задача такая - привести пример характеристической функции, модуль которой - не характеристическая функция. Хочется чего-то простого, типа $cost$. Я думаю, там не должно быть неотрицательной неопределенности? Но кручу коэффициенты, что-то не выходит.

[alisa-lebovski]

То, что некоторая функция не является характеристической, можно показать еще через обратное преобразование, когда получается (местами) отрицательная плотность.

[marie-la]

alisa-lebovski
А годится ли такое рассуждение: раз все производные в 0 у модуля косинуса есть, то все моменты у величины есть. А тогда характеристическая функция должна быть дифференцируема, что не так.
Вроде четко помню, что эти утверждения про моменты существуют, но найти ссылку не могу, поэтому спрашиваю.

[alisa-lebovski]

По-моему, исходя из того, что формальная $k$-ая производная имеет вид $\varphi^{(k)}(t)=i^k{\bf E}(\xi^ke^{i\xi t})$, если есть все моменты, то есть все производные везде.

[ShMaxG]

marie-la в сообщении #1551143 писал(а):

Я думаю, там не должно быть неотрицательной неопределенности?

Да, эта функция не является неотрицательно определенной. Достаточно взять $t_0=0$, $t_1=\pi/4$, $t_2=\pi/2$, $t_3=3\pi/4$ и увидеть, что

$$\det \left\| |\cos{(t_i-t_j)}| \right\| = -1.$$

Проще размышлять, конечно, через дифференцируемость всюду и моменты. Но пример выше и то, что функция не является неотрицательно определенной, позволяют понять, что даже сглаживание функции в точках негладкости не превратит ее в характеристическую.

[alisa-lebovski]

ShMaxG, что-то я туплю, поясните, пожалуйста, как связана неотрицательная определенность с определителем.

[ShMaxG]

alisa-lebovski
Функция $f(t)$ называется неотрицательно определенной, если

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n z_i\bar{z}_j f(t_i-t_j) \ge 0$$

для всех $n$, $t_i$ и комплексных $z_i$. Другими словами, матрицы $\left\| f(t_i-t_j) \right\|$ являются неотрицательно определенными над полем $\mathbb{C}$. Для неотрицательной определенности матриц как минимум необходимо, чтобы определители таких матриц были неотрицательными.

Известен такой критерий -- эрмитова матрица является неотрицательно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (не только угловые) неотрицательны.

Матрицы $\left\| f(t_i-t_j) \right\|$ для неотрицательно определенных функций обязательно эрмитовы, иначе двойные суммы с комплексными $z$ не будут вещественными.