Самые азы дифференциальной геометрии

[cybertourist]

Добрый день
Только начинаю изучать дифференциальную геометрию по книге Мищенко Фоменко "Курс дифференциальной геометрии", возникают трудности с базовыми задачами, а именно:
1. Доказать что система функций $ y=x+ \sin y, v=y- \frac12 \sin x $ на плоскости является регулярной системой координат
Для регулярности надо проверить что якобиан этой системы больше нуля на всей плоскости, он получается равным $1+\frac12 \cos x \cos y$ и очевидно нигде не меньше 0, но как быть с взаимной-однозначностью? Выразить $x$ и $y$ через $u$ и $v$ не получается

2. Показать что на оружности $S^1$ нельзя задать единой системы координат.
Что тут подразумевается под единой системой координат?


Edit: исправил ошибку, изначально в первой задаче проверял чтобы якобиан был не равен нулю, а надо было чтобы он был больше нуля на всей плоскости

[Евгений Машеров]

cybertourist в сообщении #1550870 писал(а):

Доказать что система функций $ y=x+ \sin y, v=y- \frac12 \sin x $ на плоскости является регулярной системой координат

Может, в первом уравнении слева u?

[gris]

cybertourist, касательно окружности. Загляните немного вперёд, во Введение к Главе 3 упомянутого учебника. Там этот случай подробно разобран на уровне начала первой главы.
А под единой системой координат, видимо, понимается непрерывная функция на $S^1$, которая однозначно определяет точки окружности.

[cybertourist]

Евгений Машеров
Да, прошу прощения, там $u$ должно быть.

-- 22.03.2022, 20:53 --

gris
Да, прочитал и понял, спасибо. Вроде бы понятно как это доказать, если бы можно было одной единой системой параметризовать окружность, то эта непрерывная функция одной переменной должна была быть биекцией, а любая такая функция по идее будет иметь разрыв в $(1,0)$

[Sinoid]

cybertourist в сообщении #1550948 писал(а):

если бы можно было одной единой системой параметризовать окружность,

А разве нельзя? Мне, конечно, до дифгеома как до Китая, но это, по-моему, уже девятиклассник умеет. Если, конечно, то, о чем я говорю - то самое, что нужно. Или это не то?

-- 23.03.2022, 02:15 --

(Оффтоп)

cybertourist в сообщении #1550870 писал(а):

Только начинаю изучать дифференциальную геометрию по книге Мищенко Фоменко "Курс дифференциальной геометрии",

Тоже зуб горит на эту книгу.

[Padawan]

cybertourist в сообщении #1550870 писал(а):

но как быть с взаимной-однозначностью?

Сюрьективность отображения следует из топологических соображений. Иньективность можно получить, используя соображения, связанные со сжимающими отображениями. Обозначим $(x+\sin y,y-1/2\sin x)=I(x,y)-A(x,y)$, где $I(x,y)=(x,y)$ -- тождественное отображение плоскости, $A(x,y)=(-\sin y,1/2\sin x)$. Тогда уравнение $(x+\sin y,y-1/2\sin x)=(u,v)$ можно переписать как $A(x,y)+(u,v)=I(x,y)$. Отображение $F\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $F(x,y)= A(x,y)+(u,v)$ хоть и не сжимающее, но оно удовлетворяет условию $\rho(F(x_1,y_1),F(x_2,y_2))<\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ при $(x_1,y_1)\neq (x_2,y_2)$. Отсюда сразу следует единственность неподвижной точки отображения $F$.

Также есть рассуждение, которое ближе к дифф.геометрии (сначала я придумал его). Для двух точек $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ запараметризуем отрезок от первой точки, ко второй $x(t)=x_1+at, y(t)=y_1+bt$, $t\in [0,1]$. Этот отрезок отобразится в кривую, на которой

$$ du=dx+\cos y dy, dv=-\frac12\cos x dx+dy $$

Следовательно вектор от точки $(u_1,v_1)$ до точки $(u_2,v_2)$ равен $(a+b\int\limits_{0}^1\cos y(t) dt,-\frac12a\int\limits_{0}^1 \cos x(t) dt+b)=(a+b\theta_1,-\frac12a\theta_2+b)$, где $-1\leqslant\theta_1,\theta_2\leqslant 1$. Если это перемещение равно нулю, то получаем $a=0, b=0$ (т.к. определитель системы равен $1+\frac 12 \theta_1\theta_2\neq 0$). Значит $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$. Это доказывает иньективность рассматриваемого отображения.

[thething]

По-моему, инъективность сразу получится, если рассмотреть систему $\left\{ \begin{array}{rcl} x_1-x_2=\sin y_2-\sin y_1=(y_2-y_1)\cos\xi_1& \\ y_1-y_2=\frac{1}{2}(\sin x_1-\sin x_2)=\frac{1}{2}(x_1-x_2)\cos\xi_2& \\ \end{array} \right.$
и подставить разность игреков из второго уравнения в первое. Предположение $x_1\ne x_2$ даёт противоречие.

Сюръективность вроде получается по теореме Брауэра, если рассмотреть отображение единичного шара с центром $(u_0,v_0)$ в себя под действием отображения $F(x,y)=(u_0-\sin y,v_0+\frac{1}{2}\sin x)$.

[пианист]

cybertourist в сообщении #1550870 писал(а):

2. Показать что на оружности $S^1$ нельзя задать единой системы координат.

Если совсем по рабоче-крестьянски: допустим, задали мы координату (понятно, что она д.б. одна) на окружности, тогда что мешает нам, стартовав из какой-то точки, начать увеличивать координату, пока мы не пройдем всю окружность и не вернемся в исходную точку (уже с другим значением координаты)? Ничего..

[Someone]

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #1550950 писал(а):

cybertourist в сообщении #1550948 писал(а):

если бы можно было одной единой системой параметризовать окружность,

А разве нельзя? Мне, конечно, до дифгеома как до Китая, но это, по-моему, уже девятиклассник умеет. Если, конечно, то, о чем я говорю - то самое, что нужно. Или это не то?

Это не дифференциальная геометрия, это общая топология. Отрезок компактен (теорема Гейне–Бореля); окружность является непрерывным образом отрезка, поэтому тоже компактна. Непрерывная биекция компакта на хаусдорфово пространство всегда является гомеоморфизмом, а отрезок и окружность не гомеоморфны: при удалении любой точки из окружности остаётся связное множество, а отрезок таким свойством не обладает.

[Sinoid]

(Someone)

Примерно ясно, спасибо. Эх, и когда я только доберусь до этого всего...

[vpb]

Padawan в сообщении #1550954 писал(а):

огда уравнение $(x+\sin y,y-1/2\sin x)=(u,v)$ можно переписать как $A(x,y)+(u,v)=I(x,y)$. Отображение $F\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $F(x,y)= A(x,y)+(u,v)$ хоть и не сжимающее, но оно удовлетворяет условию $\rho(F(x_1,y_1),F(x_2,y_2))<\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))$

thething в сообщении #1550956 писал(а):

Сюръективность вроде получается по теореме Брауэра, если рассмотреть отображение единичного шара с центром $(u_0,v_0)$ в себя под действием отображения $F(x,y)=(u_0-\sin y,v_0+\frac{1}{2}\sin x)$.

Теорема Брауэра --- очень нетривиальный результат. На самом деле, отображение $F$ сжимающее, относительно подходящей метрики. Рассмотрим на ${\mathbb R}^2$ норму $\|(x,y)\|=|x|+\sqrt2|y|$, и ассоциированную с ней метрику. Легко проверить свойство

$$ \|(y,(1/2)x)\|=(1/\sqrt2)\|(x,y)\|.$$

Поэтому $F\colon (x,y)\mapsto(u-\sin y, v+(1/2)\sin x) $ --- сжимающее, с коэффициентом сжатия $\leq1/\sqrt2$. Отсюда вывод, что $(x,y)\mapsto(x+\sin y,y-(1/2)\sin x)$ --- биекция ${\mathbb R}^2$ на себя .

-- 24.03.2022, 18:33 --

Но, кстати говоря, в задаче биективности этого отображения и не требуется. В определении "регулярной системы координат" говорится о гомеоморфизме не на всю плоскость, а на некоторое открытое подмножество ("область" в терминологии, использованной в учебнике). То, что образ отображения $(x,y)\mapsto(x+\sin y, y-(1/2)\sin x)$ открыт, следует из теоремы о локальном диффеоморфизме (см., например, в конце первого тома учебника матана Камынина; а также в самом Мищенко-Фоменко это лемма 2 в том же самом первом параграфе). А инъективность получается по рассуждению, указанному thething. Думаю, авторы это решение и имели в виду.

-- 24.03.2022, 19:11 --

По второй задаче. Собственно, надо показать, что нет непрерывной функции на окружности $S=\{ (x,y)\mid x^2+y^2=1\}$, которая бы отображала ее взаимно однозначно и взаимно непрерывно на открытое подмножество в ${\mathbb R}$. Тут даже элементарная топология (окружность компактна, а открытое подмножество в ${\mathbb R}$ --- никогда) не требуется. Достаточно матана 1-го курса. В самом деле, допустим, что $f\colon S\longrightarrow {\mathbb R}$ --- непрерывная функция, образ которой --- открытое множество. Рассмотрим функцию на $[0,2\pi]$, $g(t)=f((\cos t,\sin t))$. Она непрерывна, и ее образ открыт. Но образ отрезка относительно непрерывной функции --- всегда отрезок, в частности не открыт.

А рассуждение, приведенное в книге в начале гл.3 --- мутное, рукомахательское. Что вообще характерно для книжек Фоменко (Дубровин-Новиков-Фоменко и Фукс-Фоменко). Впрочем, для книжки "Наглядная геометрия и топология" это простительно и даже естественно.

Тем более вот это

cybertourist в сообщении #1550948 писал(а):

Вроде бы понятно как это доказать, если бы можно было одной единой системой параметризовать окружность, то эта непрерывная функция одной переменной должна была быть биекцией, а любая такая функция по идее будет иметь разрыв в $(1,0)$

пианист в сообщении #1550961 писал(а):

Если совсем по рабоче-крестьянски: допустим, задали мы координату (понятно, что она д.б. одна) на окружности, тогда что мешает нам, стартовав из какой-то точки, начать увеличивать координату, пока мы не пройдем всю окружность и не вернемся в исходную точку (уже с другим значением координаты)? Ничего..

неубедительно.

[пианист]

(Оффтоп)

vpb
Так это же и не доказательство. Так, интуитивные доводы.

[Padawan]

vpb в сообщении #1551023 писал(а):

На самом деле, отображение $F$ сжимающее, относительно подходящей метрики. Рассмотрим на ${\mathbb R}^2$ норму $\|(x,y)\|=|x|+\sqrt2|y|$, и ассоциированную с ней метрику. Легко проверить свойство

$$ \|(y,(1/2)x)\|=(1/\sqrt2)\|(x,y)\|.$$

Поэтому $F\colon (x,y)\mapsto(u-\sin y, v+(1/2)\sin x) $ --- сжимающее, с коэффициентом сжатия $\leq1/\sqrt2$. Отсюда вывод, что $(x,y)\mapsto(x+\sin y,y-(1/2)\sin x)$ --- биекция ${\mathbb R}^2$ на себя .

Здорово!

[thething]

Padawan в сообщении #1551042 писал(а):

Здорово!

Поддерживаю. Очень ловкий ход.

[vpb]

Padawan в сообщении #1551042 писал(а):

Здорово!

thething в сообщении #1551053 писал(а):

Поддерживаю. Очень ловкий ход.

Спасибо. Да, вот как-то сообразил. Вероятно оттого, что одно время я много думал про всякую выпуклость и т.д.

Призадумавшись, нашел критерий того, что для данного линейного преобразования есть норма такая, что это преобразование эту норму всегда уменьшает. Надо, чтобы все собственные значения были по модулю меньше $1$.

пианист в сообщении #1551030 писал(а):

Так это же и не доказательство. Так, интуитивные доводы.

Нам с вами это, несомненно, понятно, а ТС может и не поймет. Увидит ваши рассуждения, увидит рассуждения в книжке, которые в сущности тоже интуитивные доводы, и, чего доброго, решит, что так и надо. Потому что сравнивать не с чем. Поэтому я и обратил его внимание на то, что те соображения --- не доказательство.