Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...

[Zeddikus]

Нашёл интересную последовательность:
$(^{n}(\sqrt[n]{n}))^{n}-n-(\ln(n))^{2}$
($^{n}a$ — тетрация)

Мне кажется, она сходится к нулю. Так говорят вычисления на C++ при помощи типов double и long double. К сожалению, при сотнях миллионов тетрация считается с большой погрешностью.
Что думаете о пределе этой последовательности?

[novichok2018]

Нужно записать итерационное соотношение для последовательности, формулу, по которой следующий член выражается через предыдущий. Если сходимость есть, то часто её можно доказать из этого соотношения.

[kotenok gav]

В формуле точно ошибок нет? А то так последовательность только растёт (при малых $n$).

[Zeddikus]

kotenok gav в сообщении #1550622 писал(а):

В формуле точно ошибок нет? А то так последовательность только растёт (при малых $n$).

Точно. Она растёт только первые несколько значений. Вот первые 100 значений последовательности:

1: 0.000000
2: 0.184691
3: 2.236297
4: 5.563189
5: 7.880485
6: 8.689639
7: 8.746453
8: 8.584962
9: 8.391386
10: 8.209458
11: 8.044676
12: 7.895130
13: 7.758296
14: 7.632107
15: 7.514960
16: 7.405601
17: 7.303031
18: 7.206441
19: 7.115161
20: 7.028635
21: 6.946392
22: 6.868030
23: 6.793203
24: 6.721609
25: 6.652988
26: 6.587106
27: 6.523760
28: 6.462767
29: 6.403965
30: 6.347206
31: 6.292361
32: 6.239308
33: 6.187940
34: 6.138158
35: 6.089871
36: 6.042997
37: 5.997461
38: 5.953191
39: 5.910123
40: 5.868197
41: 5.827359
42: 5.787556
43: 5.748740
44: 5.710867
45: 5.673896
46: 5.637786
47: 5.602502
48: 5.568009
49: 5.534275
50: 5.501269
51: 5.468964
52: 5.437332
53: 5.406347
54: 5.375987
55: 5.346227
56: 5.317047
57: 5.288427
58: 5.260346
59: 5.232786
60: 5.205731
61: 5.179163
62: 5.153067
63: 5.127427
64: 5.102229
65: 5.077460
66: 5.053107
67: 5.029156
68: 5.005596
69: 4.982415
70: 4.959603
71: 4.937150
72: 4.915044
73: 4.893276
74: 4.871837
75: 4.850719
76: 4.829912
77: 4.809408
78: 4.789200
79: 4.769280
80: 4.749640
81: 4.730274
82: 4.711174
83: 4.692335
84: 4.673750
85: 4.655412
86: 4.637316
87: 4.619456
88: 4.601827
89: 4.584423
90: 4.567240
91: 4.550272
92: 4.533514
93: 4.516962
94: 4.500612
95: 4.484459
96: 4.468498
97: 4.452726
98: 4.437139
99: 4.421733
100: 4.406504

[waxtep]

Первый член можно немножко упростить, записать как $n^{^{n-1}(n^{1/n})}$. Для любого конечного $a$, похоже, действительно $\lim_{n\rightarrow\infty}n^{^a(n^{1/n})}-n-\ln^2n=0$ (это можно получить ограничиваясь первым приближением по малому параметру $\ln n/n$). А для бесконечного, равного $n-1$, - не знаю.

-- 17.03.2022, 14:33 --

Немного насилия над несчастным вольфрамом, $a=12$

[waxtep]

waxtep в сообщении #1550634 писал(а):

А для бесконечного, равного $n-1$, - не знаю

Хотя, это же похоже элементарно доказывается по индукции, что при $a,n\rightarrow\infty:\, ^{a}(n^{1/n})\sim1+\dfrac{\ln n}n$, а значит и $n^{^{n-1}(n^{1/n})}\sim n+\ln^2n$
Если совсем аккуратно, то как-то вот так: $n^{^{n-1}(n^{1/n})}=n+\ln^2n+O\left(\dfrac{\ln^4n}n\right)$