2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...
Сообщение17.03.2022, 02:37 


20/04/15
19
Нашёл интересную последовательность:
$(^{n}(\sqrt[n]{n}))^{n}-n-(\ln(n))^{2}$
($^{n}a$ — тетрация)

Мне кажется, она сходится к нулю. Так говорят вычисления на C++ при помощи типов double и long double. К сожалению, при сотнях миллионов тетрация считается с большой погрешностью.
Что думаете о пределе этой последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...
Сообщение17.03.2022, 08:04 
Заблокирован


16/04/18

1129
Нужно записать итерационное соотношение для последовательности, формулу, по которой следующий член выражается через предыдущий. Если сходимость есть, то часто её можно доказать из этого соотношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...
Сообщение17.03.2022, 08:38 


21/05/16
4292
Аделаида
В формуле точно ошибок нет? А то так последовательность только растёт (при малых $n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...
Сообщение17.03.2022, 11:27 


20/04/15
19
kotenok gav в сообщении #1550622 писал(а):
В формуле точно ошибок нет? А то так последовательность только растёт (при малых $n$).


Точно. Она растёт только первые несколько значений. Вот первые 100 значений последовательности:

1: 0.000000
2: 0.184691
3: 2.236297
4: 5.563189
5: 7.880485
6: 8.689639
7: 8.746453
8: 8.584962
9: 8.391386
10: 8.209458
11: 8.044676
12: 7.895130
13: 7.758296
14: 7.632107
15: 7.514960
16: 7.405601
17: 7.303031
18: 7.206441
19: 7.115161
20: 7.028635
21: 6.946392
22: 6.868030
23: 6.793203
24: 6.721609
25: 6.652988
26: 6.587106
27: 6.523760
28: 6.462767
29: 6.403965
30: 6.347206
31: 6.292361
32: 6.239308
33: 6.187940
34: 6.138158
35: 6.089871
36: 6.042997
37: 5.997461
38: 5.953191
39: 5.910123
40: 5.868197
41: 5.827359
42: 5.787556
43: 5.748740
44: 5.710867
45: 5.673896
46: 5.637786
47: 5.602502
48: 5.568009
49: 5.534275
50: 5.501269
51: 5.468964
52: 5.437332
53: 5.406347
54: 5.375987
55: 5.346227
56: 5.317047
57: 5.288427
58: 5.260346
59: 5.232786
60: 5.205731
61: 5.179163
62: 5.153067
63: 5.127427
64: 5.102229
65: 5.077460
66: 5.053107
67: 5.029156
68: 5.005596
69: 4.982415
70: 4.959603
71: 4.937150
72: 4.915044
73: 4.893276
74: 4.871837
75: 4.850719
76: 4.829912
77: 4.809408
78: 4.789200
79: 4.769280
80: 4.749640
81: 4.730274
82: 4.711174
83: 4.692335
84: 4.673750
85: 4.655412
86: 4.637316
87: 4.619456
88: 4.601827
89: 4.584423
90: 4.567240
91: 4.550272
92: 4.533514
93: 4.516962
94: 4.500612
95: 4.484459
96: 4.468498
97: 4.452726
98: 4.437139
99: 4.421733
100: 4.406504

 Профиль  
                  
 
 Re: Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...
Сообщение17.03.2022, 14:25 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Первый член можно немножко упростить, записать как $n^{^{n-1}(n^{1/n})}$. Для любого конечного $a$, похоже, действительно $\lim_{n\rightarrow\infty}n^{^a(n^{1/n})}-n-\ln^2n=0$ (это можно получить ограничиваясь первым приближением по малому параметру $\ln n/n$). А для бесконечного, равного $n-1$, - не знаю.

-- 17.03.2022, 14:33 --

Немного насилия над несчастным вольфрамом, $a=12$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нашёл интересную последовательность ((n^(1/n))^^n)^n-n-...
Сообщение20.03.2022, 02:16 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
waxtep в сообщении #1550634 писал(а):
А для бесконечного, равного $n-1$, - не знаю
Хотя, это же похоже элементарно доказывается по индукции, что при $a,n\rightarrow\infty:\, ^{a}(n^{1/n})\sim1+\dfrac{\ln n}n$, а значит и $n^{^{n-1}(n^{1/n})}\sim n+\ln^2n$
Если совсем аккуратно, то как-то вот так: $n^{^{n-1}(n^{1/n})}=n+\ln^2n+O\left(\dfrac{\ln^4n}n\right)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group