М-статистика для функции от выборки из распределения Коши

[Juicer]

Требуется оценить разброс для М-статистики $\varphi^*$ для функции $\psi_\varphi = \arctg(x - \varphi)$, когда выборка из распределения Коши.

Собственно, понятно, что нужно найти $E\psi_\varphi = \int_{-\infty}^{\infty}\psi_\varphi(x) dF(\psi_\varphi(x))$ и приравнять к нулю. Теперь вопрос, как найти функцию распределения для $\psi_\varphi(x)$? Или же функция распределения равна $F_{\psi_\varphi}(x) = \arctg(1/\pi\arctg(x) +1/2- \varphi)$ -- по сути просто навесил сверху функцию на с.в. $x$.

[Otta]

Столько всего...
Давайте по порядку. Что такое М-статистика параметра $\varphi^*$. Я догадываюсь, но тогда или параметра, или "для функции". Выборка из распределения Коши - так выборки нет ни одной, по крайней мере так сформулировано.

Juicer в сообщении #1550606 писал(а):

$E\psi_\varphi = \int_{-\infty}^{\infty}\psi_\varphi(x) dF(\psi_\varphi(x))$

Если Вы думаете, что так Вы найдете матожидание - нет, это не оно. Тем более непонятно, зачем его приравнивать к нулю. Но может, Вы сейчас объясните.
Про функцию распределения не надо говорить, пока не ясно, нужна ли она.

[Juicer]

Otta в сообщении #1550607 писал(а):

"для функции"

да, я же и написал, что для функции.

Otta в сообщении #1550607 писал(а):

Выборка из распределения Коши

да, тут, полагаю, нужно применить метод М-К

Otta в сообщении #1550607 писал(а):

зачем его приравнивать к нулю.

по определению М-оценка максимизирует матожидание. Максимум мы можем найти через достаточное условие -- приравнивая к нулю производную

[Otta]

Ну ладно, пусть будет так. (У М-оценок не одно определение, потому я спрашивала, какому Вы следуете).
Только зачем, чтобы искать матожидание, нужна функция распределения новой с.в.? Она вовсе не нужна. Есть матожидание сложной функции, формула, очень хорошая. Неужели не работает?

[Juicer]

Otta в сообщении #1550610 писал(а):

какому Вы следуете

тогда лучше вставить, чтобы избежать многозначности:

Пусть $\varphi(\mathcal{P}) = \arg \max \mathbb{E} m_\varphi (X), где m_\varphi $-- некоторое семейство функций, запараметризованных $\varphi$. Оценка $\varphi^* $ в виде

$$$ \varphi^* = \arg \max_\varphi \mathbb{E} m_\varphi (X^*) = \arg \max_\varphi \frac{1}{n} \sum_i m_\varphi (x_i)$$$

и есть М-статистика.
Маленькие и большие иксы -- это случайные элементы и реализации соответственно.

Otta в сообщении #1550610 писал(а):

Есть матожидание сложной функции,

это вы про

$$\mathbb{E}g(X) = \int_{-\infty}^\infty g(x)f_X(x)dx, \; g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \; Y = g(X)?$$

[Otta]

Juicer в сообщении #1550611 писал(а):

это вы про

Ага.

[Евгений Машеров]

Сначала я подумал, что под M-статистикой понимается M-оценка. Но потом увидел

Juicer в сообщении #1550609 писал(а):

по определению М-оценка максимизирует матожидание.

"и аж заколдобился".
У Коши вообще матожидания нет, максимизируется функция правдоподобия.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution
Можно использовать медиану или усечённое среднее, но и то, и то не будет M-оценкой (хотя может оказаться хорошим приближением)

[Juicer]

Евгений Машеров в сообщении #1550621 писал(а):

Но потом увидел

разве это не так? У нас такое определение, по крайней мере.

Евгений Машеров в сообщении #1550621 писал(а):

У Коши вообще матожидания нет

это известный факт, но мы же и не просто Коши находим

[Евгений Машеров]

Можно ссылку на определение? Посмотрю с интересом.
А что до "нет матожидания у Коши" - то существование матожидания, тем более дисперсии у оценки, являющейся функцией от кошерной выборки Коши не невозможно, но должно доказываться особо.

[Otta]

Евгений Машеров в сообщении #1550630 писал(а):

то существование матожидания

Да нет там никаких проблем. С существованием матожидания указанной функции от распределения Коши. Оно даже явно считается.
Другое дело, что радости от этого мало. Должна получиться статистика, а от приравнивания к нулю что матожидания, что производной матожидания ее не получится, потому что выборка в расчете не участвует.

Может, кто-то более знающий подтянется, ну или нужна дополнительная информация. Сама я пока занята, хотелось бы самой посмотреть, как все это делается на самом деле, но не сейчас.

[Евгений Машеров]

Нет, я не о предложенной функции, считающей непонятно что, но точно не характеристики распределения по выборке, а о какой-то статистической оценке параметров распределения Коши.
В общем, хотел бы от ТС пояснений.