Закон сохранения энергии

[Stensen]

sergey zhukov в сообщении #1550493 писал(а):

Stensen
Скорости всех трех тел друг относительно друга стремятся к нулю, но центр масс системы трех тел будет продолжать движение так же, как он это делал до столкновения третьей звезды с двумя другими. Стало быть, все три тела в конце концов будут иметь одинаковую скорость, направленную в одну сторону. Найдите эту скорость и соответствующую кинетическую энергию всей системы.

Тогда начальный суммарный импульс: $\vec{P_1}=M\vec{u}$
конечный суммарный импульс: $\vec{P_2}=3M\vec{v'}$
энергия каждой звезды в ИСО ц.м. : $E'_{k 1} =E'_{k 2} = E'_{k 3}=0$ и из

DimaM в сообщении #1550494 писал(а):

Суммарную кинетическую энергию системы материальных точек можно записать в виде

$$K=\frac{P^2}{M}+\sum_i\frac{m_iu_i^2}{2},$$

где $P$ - полный импульс системы, $M=\sum_i m_i$ - полная масса, а ${\bf u}_i$ - скорости в системе центра масс, причем $\sum_i m_i{\bf u}_i=0$. Очевидно, что суммарная кинетическая энергия минимальна, когда все ${\bf u}_i=0$.

полная энергия в конце распада: $E' =\frac{P^2}{3M}=\frac{(3M v')^2}{3M}$ и собрав в систему, получим (в проекциях):

$$\left\{ \begin{array}{lcc} Mu=3Mv' \\ \frac{M u^2}{2} + 2 \frac{M v^2}{2} =3 \frac{M (v')^2}{2} \\ \end{array} \right.$$

и решаю систему. Все ли верно?

[EUgeneUS]

Pphantom в сообщении #1550514 писал(а):

Маловероятно, но возможно.

И всё таки, при решении в ИСО трех звезд оценка получается заметно больше, то есть точнее, чем при способе, которым пошел ТС. такая же. А решение упрощается.
(исправил у себя арифметическую ошибку)

-- 16.03.2022, 08:26 --

Stensen в сообщении #1550534 писал(а):

Все ли верно?

Второе слагаемое в ЗСЭ выглядит странным. Там должна быть полная энергия двойной системы (и она д.б. отрицательной). А у Вас там только кинетическая энергия звезд в двойной системе, если правильно понял Ваши обозначения.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1550506 писал(а):

б) или разлетаются медленно из области, сравнимой с размером двойной системы

Медленно или быстро - оно всегда по сравнению с чем-то.
Начальные относительные скорости будут скоростями убегания, характерное время разлета - порядка исходного орбитального периода. Это "медленно" или "быстро"?

[EUgeneUS]

DimaM

(Оффтоп)

что-то сходу не смог представить, какие там могут быть траектории разлета в ИСО двойной системы.
Сейчас всё встало на места.

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1550534 писал(а):

Все ли верно?

Нет, закон сохранения энергии записан неверно. Там слева во втором слагаемом должна быть не кинетическая энергия двойной, а полная.

[Stensen]

Pphantom в сообщении #1550542 писал(а):

Закон сохранения энергии записан неверно. Там слева во втором слагаемом должна быть не кинетическая энергия двойной, а полная.

Да, осознал. Должно быть так

$$\left\{ \begin{array}{lcc} Mu=3Mv' \\ \frac{M u^2}{2} + 2 \frac{M v^2}{2} - G \frac{M^2}{R}=3 \frac{M (v')^2}{2} \\ \end{array} \right.$$

Верно?

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1550560 писал(а):

Верно?

Теперь да.

[Stensen]

Всем спасибо

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1550560 писал(а):

Верно?

Верно-то, верно.
Но Вы не воспользовались очень важной подсказкой уважаемого DimaM

DimaM в сообщении #1550492 писал(а):

Для круговых орбит есть удобное соотношение: полная энергия равна половине потенциальной. Можно получить прямым вычислением или из теоремы о вириале.

Благодаря ей, можно записать полную энергию двойной системы как
$E= - \frac{1}{2} G \frac{M^2}{R}$
после чего можно забыть про орбитальную скорость компонент двойной системы.
А в противном случае, Вам еще её будет нужно найти, а это лишние телодвижения.

[Stensen]

Спасибо, учел

[EUgeneUS]

Раз ТС почти решил задачу.
Вариант решения с переходом в ИСО ц.м. трех звезд под катом.

(Оффтоп)

1. Пусть "свободная" звезда движется (на бесконечности) со скоростью $v_0$ (эту скорость надо найти).
2. Перейдем в ИСО ц.м. трех звезд:
а) свободная звезда будет двигаться в этой ИСО со скоростью $v_1 = \frac{2}{3} v_0$
б) ц.м. двойной системы будет двигаться со скоростью $v_2 = \frac{1}{3} v_0$ навстречу свободной звезде.

3. Записываем ЗСЭ:
$\frac{2m v_0^2}{18} + \frac{4 m v_0^2}{18} + E = 0$
где $E$ -полная энергия двойной системы в ИСО её ц.м.
Нулю приравняли, так как минимальная полная энергия для "развала" системы равна нулю.

4. Итого:
$v_0 = \sqrt{-3E/m}$

всё.