Волновая функция фотона в резонаторе

[Ruslan_Sharipov]

Квантование электромагнитного поля - сложный для усвоения раздел в стандартных учебниках квантовой механики. Поэтому предлагаю разобрать следующую задачу.

Задача. Одиночный фотон заключён в цилиндрическом резонаторе c идеально отражающими зеркальными стенками. Длина резонатора равна $L$, его радиус равен $R$. Найти волновую функцию фотона в координатном представлении $\mathbf\Psi(X,t)$, где $X$ — точка внутри резонатора, а $t$ — время. Импульс фотона (его волновой вектор) направлен вдоль оси резонатора, а его частота кратна базовой резонансной частоте резонатора $\omega_0=\pi\,c/L$.

При решении задачи прошу осветить следующие вопросы.

• Является волновая функция $\mathbf\Psi(X,t)$ скалярной или векторной величиной?
• Какому дифференциальному уравнению она удовлетворяет?
• Каковы граничные условия для волновой функции на стенках резонатора?
• Как эти граничные условия связаны с граничными условиями для электрического и магнитного полей при решении классических уравнений Максвелла?
• Сколько поляризационных мод допускает решение задачи? Если их несколько, то выписать формулы для $\mathbf\Psi(X,t)$ для каждой из них.
• Как при помощи $\mathbf\Psi(X,t)$ вычислить квантовомеханические средние для операторов электрического и магнитного полей $\hat E(X,t)$ и $\hat H(X,t)$, а также для их квадратов и их произведения?

Для задания точки $X$ в $\mathbf\Psi(X,t)$ предлагаю использовать цилиндрическую систему координат, задаваемую формулами

$$\begin{xalignat*}{3}&x=r\,\cos(\varphi),&&y=r\,\sin(\varphi),&&z=h.\end{xalignat*}$$

Для задания векторных величин, привязанных к точке $X$, предлагаю использовать подвижный базис цилиндрической системы координат, задаваемый формулами

$$\begin{xalignat*}{3}&\mathbf E_1=\bmatrix\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ 0\endbmatrix,&&\mathbf E_2=\bmatrix -r\,\sin(\varphi)\\ r\,\cos(\varphi)\\ 0\endbmatrix,&&\mathbf E_3=\bmatrix 0\\ 0\\ 1\endbmatrix.\end{xalignat*}$$

Данный базис является ортогональным, но не является ортонормированным.

Примечание. Я не являюсь студентом и решение данной задачи нужно мне не для сдачи зачёта или экзамена.

[Ruslan_Sharipov]

Начнём с решения классических уравнений электромагнитного поля в резонаторе. Для простоты будем считать, что внутри резонатора вакуум. В этих условиях электромагнитное поле описывается векторами напряжённости электрического и магнитного полей $\mathbf E$ и $\mathbf H$. Эти поля можно выразить через векторный и скалярный потенциалы $\mathbf A$ и $\phi$:

$$\begin{xalignat*}{2}&\mathbf E=-\operatorname{grad}\phi-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf A}{\partial t},&&\mathbf H=\operatorname{rot}\mathbf A.\end{xalignat*}$$

Сами потенциалы можно выбрать удовлетворяющими уравнению

$$\frac{1}{c}\,\frac{\partial\phi}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf A=0.$$

Это уравнение называется условием лоренцевой калибровки. При выполнении условия лоренцевой калибровки векторный и скалярный потенциалы удовлетворяют волновому уравнению:

$$\begin{xalignat*}{2}&\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}-\triangle\mathbf A=0,&&\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\triangle\phi=0.\end{xalignat*}$$

Электромагнитная волна в резонаторе является стоячей водной. Зависимость потенциалов $\mathbf A$ и $\phi$ в стоячей волне можно описать синусоидальными функциями. С учётом лоренцевой калибровки и произвола в выборе начала отсчёта времени мы можем записать

$$\begin{xalignat*}{2}&\mathbf A(X,t)=\mathbf A(X)\,\sin(\omega\,t),&&\phi(X,t)=\phi(X)\,\cos(\omega\,t).\end{xalignat*}$$

Теперь условие лоренцевой калибровки приобретает вид

$$\frac{\omega}{c}\,\phi=\operatorname{div}\mathbf A,$$

а волновые уравнения принимают вид

$$\begin{xalignat*}{2}&\frac{\omega^2}{c^2}\,\mathbf A+\triangle\mathbf A=0,&&\frac{\omega^2}{c^2}\,\phi+\triangle\phi=0.\end{xalignat*}$$

Электрическое и магнитное поля также имеют вид стоячих волн:

$$\begin{xalignat*}{2}&\mathbf E(X,t)=\mathbf E(X)\,\cos(\omega\,t),&&\mathbf H(X,t)=\mathbf H(X)\,\sin(\omega\,t).\end{xalignat*}$$

Функции $\mathbf E(X)$ и $\mathbf H(X)$ выражаются через функции $\mathbf A(X)$ и $\phi(X)$ по формулам

$$\begin{xalignat*}{2}&\mathbf E=-\operatorname{grad}\phi-\frac{\omega}{c}\,\mathbf A,&&\mathbf H=\operatorname{rot}\mathbf A.\end{xalignat*}$$

Продолжение следует.

[Pphantom]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1551679 писал(а):

Продолжение следует.

Давайте перед продолжением подождем чьей-нибудь заинтересованной реакции.

[Denis Neradovsky]

Здравствуйте! Можно узнать, почему используется калибровка Лоренца, а не калибровка Кулона divA=0?

[alexsolodovnik]

По поводу граничных условий: думаю что волновая функция должна быть равна 0 на стенках, т.к. они проводящие. Думаю тут полная аналогия с классикой.
Насчёт волновой функции: не вижу причин ей быть векторной, можно обойтись скаляром.

[Ruslan_Sharipov]

Denis Neradovsky в сообщении #1551915 писал(а):

Можно узнать, почему используется калибровка Лоренца, а не калибровка Кулона $\operatorname{div} A=0$?

Полагаю, что кулоновскую калибровку тоже можно использовать. Но мне привычнее лоренцева калибровка. Покопавшись в литературе, я обнаружил, что имеется подход, который вообще не использует потенциалов $\mathbf A$ и $\phi$. Наиболее доступным образом он изложен в книге [1] Сильвестер П., Феррари Р., Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков, изд-во Мир, Москва, 1986, глава 2, параграф 2.7.1. Поэтому вопрос о калибровке отпадает вовсе. Ниже я привожу изложение материала из книги [1] применительно к нашей задаче.

Векторы электрического и магнитного полей выбираются в следующем виде:

$$\begin{xalignat*}{3}&\mathbf E=\mathbf E(r)\cdot\exp(i\,m\,\varphi+i\,q\,h-i\,\omega\,t), &&\mathbf H=\mathbf H(r)\cdot\exp(i\,m\,\varphi+i\,q\,h-i\,\omega\,t).&&\qquad\eqno{(1)}\end{xalignat*}$$

Формулы (1) соответствуют бегущей волне. Однако это не является большой проблемой. Стоячую волну можно получить наложением двух волн, бегущих в противоположных направлениях.
Разложим векторы $\mathbf E$ и $\mathbf H$ по базису $\mathbf E_1,\,\mathbf E_2,\,\mathbf E_3$ цилиндрической системы координат (см. первое сообщение в теме):

$$\begin{xalignat*}{3}&\mathbf E=E^1\,\mathbf E_1+E^2\,\mathbf E_2+E^3\,\mathbf E_3, &&\mathbf H=H^1\,\mathbf E_1+H^2\,\mathbf E_2+H^3\,\mathbf E_3.&&\qquad\eqno{(2)}\end{xalignat*}$$

Здесь мы использовали верхние индексы в соответствии с Эйнштейновской тензорной нотацией.
Подставим поля (1) в уравнения Максвелла:

$$\begin{xalignat*}{3}&\operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf H}{\partial t}, &&\operatorname{rot}\mathbf H=\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.&&\qquad\eqno{(3)}\end{xalignat*}$$

Это приводит к следующим уравнениям относительно компонент векторов $\mathbf E$ и $\mathbf H$ в разложениях (2):

$$\begin{xalignat*}{3}&\frac{m\,E^3}{r}-r\,q\,E^2-\frac{\omega\,H^1}{c}=0, &&-\frac{1}{r}\,\frac{dH^3}{dr}+\frac{i\,q\,H^1}{r}+\frac{i\,\omega\,E^2}{c}=0,&&\qquad\eqno{(4)}\\ &-\frac{1}{r}\,\frac{dE^3}{dr}+\frac{i\,q\,E^1}{r}-\frac{i\,\omega\,H^2}{c}=0,&&\frac{m\,H^3}{r}-r\,q\,H^2+\frac{\omega\,E^1}{c}=0,&&\qquad\eqno{(5)}\\ &r\,\frac{dE^2}{dr}+2\,E^2-\frac{i\,m\,E^1}{r}-\frac{i\,\omega\,H^3}{c}=0,&&r\,\frac{dH^2}{dr}+2\,H^2-\frac{i\,m\,H^1}{r}+\frac{i\,\omega\,E^3}{c}=0.&&\qquad\eqno{(6)} \end{xalignat*}$$

Уравнения (4) можно разрешить относительно $E^2$ и $H^1$. Уравнения (5) можно разрешить относительно $E^1$ и $H^2$. Единственным условием такой разрешимости является неравенство

$$q^2\,c^2-\omega^2\neq 0.\eqno{(7)}$$

Подстановка полученных выражений в уравнения (6) приводит к двум отдельным дифференциальным уравнениям на $E^3$ и $H^3$:

$$\begin{xalignat*}{2}&\frac{d^2E^3}{dr^2}+\frac{1}{r}\,\frac{dE^3}{dr}+\Bigl(\frac{\omega^2}{c^2}-q^2-\frac{m^2}{r^2}\Bigr)E^3=0,&&\qquad\eqno{(7)}\\ &\frac{d^2H^3}{dr^2}+\frac{1}{r}\,\frac{dH^3}{dr}+\Bigl(\frac{\omega^2}{c^2}-q^2-\frac{m^2}{r^2}\Bigr)H^3=0.&&\qquad\eqno{(8)} \end{xalignat*}$$

Учёт двух скалярных уравнений Максвелла

$$\begin{xalignat*}{3}&\operatorname{div}\mathbf E=0, &&\operatorname{div}\mathbf H=0.&&\qquad\eqno{(9)}\end{xalignat*}$$

не добавляет ничего нового и приводит к тем же уравнениям (7) и (8). На основании этого бегущие волны в волноводе подразделяются на два типа:

• трансверсально электрические, для которых $E^3\neq 0$ и $H^3=0$;
• трансверсально магнитные, для которых $H^3\neq 0$ и $E^3=0$.

Решения уравнений (7) и (8) выражаются через функции Бесселя первого рода порядка m:

$$\begin{xalignat*}{3}&E^3=C\,J_m(\beta\,r), &&H^3=C\,J_m(\beta\,r),&&\qquad\eqno{(10)}\end{xalignat*}$$

где $C$ — произвольная константа, а параметр $\beta$ определяется формулой

$$\beta^2=\frac{\omega^2}{c^2}-q^2.\eqno{(11)}$$

alexsolodovnik в сообщении #1551917 писал(а):

По поводу граничных условий: думаю что волновая функция должна быть равна 0 на стенках, т.к. они проводящие. Думаю тут полная аналогия с классикой.

Про граничные условия для волновой функции пока ничего не могу сказать. А вот про граничные условия для электрического и магнитного поля уже могу. Ответ содержится в книге [1], глава 2 параграф 2.1.3. На границе проводника электрическое поле перпендикулярно границе, а магнитное поле является касательным к границе. Применительно к нашей задаче это даёт:

$$\begin{xalignat*}{4}&E^2(R)=0,&&E^3(R)=0,&&H^1(R)=0.&&\qquad\eqno{(12)} \end{xalignat*}$$

Для построенного выше решения типа бегущей волны в цилиндрическом волноводе компоненты $E^2$ и $H^1$ выражаются через $E^3$ и $H^3$ по формулам

$$\begin{xalignat*}{2}&E^2=\frac{c^2}{q^2\,c^2-\omega^2}\,\left(\frac{m\,q}{r^2}\,E^3+\frac{i\,\omega}{r\,c}\,\frac{dH^3}{dr}\right),&&\qquad\eqno{(13)}\\ &H^1=\frac{c^2}{q^2\,c^2-\omega^2}\,\left(-i\,q\,\frac{dH^3}{dr}-\frac{m\,\omega}{r\,c}\,E^3\right).&&\qquad\eqno{(14)} \end{xalignat*}$$

На основе формул (13) и (14) можно сделать следующий вывод. В случае трансверсально электрических волн граничные условия на боковой стенке резонатора (12) трансформируется в условие зануления функции Бесселя $J_m(\beta\,r)$ при $r=R$. В случае трансверсально магнитных волн граничные условия (12) трансформируются в условие зануления производной $J'_m(\beta\,r)$ при $r=R$.

[Ruslan_Sharipov]

Рассмотрим трансверсально электрические и трансверсально магнитные поля по отдельности. В случае трансверсально электрического поля компонента $E^3(r)$ определяется формулой (10), а компонента $H^3(r)$ равна нулю. Граничные условия (12) сводятся к $J_m(\beta\,R)=0$. Пусть

$$0<\mu_{m1}<\mu_{m2}<\ldots<\mu_{mn}<\ldots\eqno{(15)}$$

нули функции Бесселя $J_m(r)$, пронумерованные в порядке возрастания. Тогда параметр $\beta$ в $J_m(\beta\,R)$ определяется формулой

$$\beta_{mn}=\frac{\mu_{mn}}{R}.\eqno{(16)}$$

Зависимость $E^3$ от $\varphy$, $h$ и $t$ определяется формулами (1). Дискретизация параметра $q$ определяется длиной резонатора в осевом направлении $L$. Он подбирается так, чтобы в эту длину укладывалось целое число синусоидальных полуволн:

$$q_s=\frac{\pi\,s}{L}.\eqno{(17)}$$

После этого частота $\omega$ тоже становится дискретной. Она вычисляется через формулу (11):

$$\omega_{mns}=c\sqrt{\beta_{mn}^2+q_s^2}.\eqno{(18)}$$

После этого мы получаем следующие формулы для компонент $E^3$ и $H^3$:

$$\begin{xalignat*}{3}&E^3_{mns}=C\,J_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t), &&H^3_{mns}=0.&&\qquad\eqno{(19)}\end{xalignat*}$$

Далее можно выписать формулы для всех остальных компонент поля:

$$\begin{xalignat*}{2}&E^2_{mns}=-C\,\frac{m\,q_s}{\beta_{mn}^2\,r^2}\,J_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t),&&\qquad\eqno{(20)}\\ &H^1_{mns}=C\,\frac{m\,\omega_{mns}}{\beta_{mn}^2\,r\,c}\,J_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t),&&\qquad\eqno{(21)}\\ &H^2_{mns}=C\,\frac{i\,\omega_{mns}}{\beta_{mn}\,r\,c}\,J'_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t) ,&&\qquad\eqno{(22)}\\ &E^1_{mns}=C\,\frac{i\,q_s}{\beta_{mn}}\,J'_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t).&&\qquad\eqno{(23)}\end{xalignat*}$$

Формулы (20) и (21) выводятся из формул (13) и (14). Для вывода формул (22) и (23) требуются две другие формулы, которые ранее не были выписаны:

$$\begin{xalignat*}{2}&H^2=\frac{c^2}{q^2\,c^2-\omega^2}\,\left(\frac{m\,q}{r^2}\,H^3-\frac{i\,\omega}{r\,c}\,\frac{dE^3}{dr}\right),&&\qquad\eqno{(24)}\\ &E^1=\frac{c^2}{q^2\,c^2-\omega^2}\,\left(-i\,q\,\frac{dE^3}{dr}+\frac{m\,\omega}{r\,c}\,H^3\right).&&\qquad\eqno{(25)}\end{xalignat*}$$

В случае трансверсально магнитного поля компонента $E^3(r)$ равна нулю, а компонента $H^3(r)$ определяется формулой (10). Граничные условия (12) сводятся к $J'_m(\beta\,R)=0$. Пусть

$$0<\nu_{m1}<\nu_{m2}<\ldots<\nu_{mn}<\ldots\eqno{(26)}$$

нули производной функции Бесселя $J'_m(r)$ по переменной $r$, пронумерованные в порядке возрастания. Тогда параметр $\beta$ в $J_m(\beta\,R)$ определяется формулой

$$\beta_{mn}=\frac{\nu_{mn}}{R}.\eqno{(27)}$$

Формулы (17) и (18) сохраняют свой вид, но с учётом изменившихся значений $\beta_{mn}$, которые теперь определяются формулой (27). Вместо формул (19) теперь имеем следующие формулы:

$$\begin{xalignat*}{3}&E^3_{mns}=0, &&H^3_{mns}=C\,J_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t).&&\qquad\eqno{(28)}\end{xalignat*}$$

Подстановка формул (28) в (13), (14), (24) и (25) даёт

$$\begin{xalignat*}{2}&E^2_{mns}=-C\,\frac{i\,\omega_{mns}}{\beta_{mn}\,r\,c}\,J'_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t),&&\qquad\eqno{(29)}\\ &H^1_{mns}=C\,\frac{i\,q_s}{\beta_{mn}}\,J'_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t),&&\qquad\eqno{(30)}\\ &H^2_{mns}=-C\,\frac{m\,q_s}{\beta_{mn}^2\,r^2}\,J_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t) ,&&\qquad\eqno{(31)}\\ &E^1_{mns}=-C\,\frac{m\,\omega_{mns}}{\beta_{mn}^2\,r\,c}\,J_m(\beta_{mn}\,r)\,\exp(i\,m\,\varphi+i\,q_s\,h-i\,\omega_{mns}\,t).&&\qquad\eqno{(32)}\end{xalignat*}$$

Построенные решения двух мод (трансверсально электрической и трансверсально магнитной) обладают важным свойством ортогональности

$$\begin{xalignat*}{2}&\int\limits^R_0\int\limits^{2\pi}_0\int\limits^{2L}_0\frac{(\overline{\mathbf E_{m'n's'}},\mathbf E_{mns})+(\overline{\mathbf H_{m'n's'}},\mathbf H_{mns})}{8\,\pi}\,r\,dr\,d\varphi\,dh=0.&&\qquad\eqno{(33)}\end{xalignat*}$$

Равенство (33) выполняется при условии если поля с индексами $m',\,n',\,s'$ и $m,\,n,\,s$ относятся к разным модам, или, если моды совпадают, то имеется хотя бы одно из несовпадений $m'\neq m$, $n'\neq n$ либо $s'\neq s$. Построенные решения являются комплексными. Поэтому в формуле (33) над символами полей в скалярных произведениях слева проставлена черта. Это знак комплексного сопряжения. Ещё одна особенность формул (33) состоит в том, что интегрирование в осевом направлении выполняется по удвоенной длине резонатора. Это связано с тем, что в длину резонатора укладывается целое число полуволн, а ортогональность экспонент$ e^{i\,q\,h}$ достигается лишь на целом периоде, а не на половине периода. При выводе формулы (33) используется интегрирование по частям, дифференциальное уравнение Бесселя, а также формула (5.5) из книги: Зубов В. И., Функции Бесселя, Учебное пособие МФТИ, Москва 2007.

[Denis Neradovsky]

Здравствуйте! Можно ли теперь вычислить скалярный и векторный потенциалы поля, используя построенное решение для компонент векторов E и H?

[Ruslan_Sharipov]

Да, это возможно. Векторный и скалярный потенциалы связаны с полями $\mathbf E$ и $\mathbf H$ формулами

$$\begin{xalignat*}{3}&\mathbf E=-\operatorname{grad}\phi-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf A}{\partial t},&&\mathbf H=\operatorname{rot}\mathbf A.&&\qquad\eqno{(34)}\end{xalignat*}$$

Векторы $\mathbf E$ и $\mathbf H$ уже разложены в базисе $\mathbf E_1,\,\mathbf E_2,\,\mathbf E_3$ цилиндрической системы координат (см. первое сообщение в теме) согласно формуле (2). Аналогичным образом разложим вектор $\mathbf A$:

$$\begin{xalignat*}{2}&\mathbf A=A^1\,\mathbf E_1+A^2\,\mathbf E_2+A^3\,\mathbf E_3.&&\qquad\eqno{(35)}\end{xalignat*}$$

Для компонент вектора $\mathbf A$ в разложении (35) и для скалярного потенциала $\phi$ выберем экспоненциальную зависимость от $\varphi,\,h,\,t$:

$$\begin{xalignat*}{3}&\mathbf A=\mathbf A(r)\cdot\exp(i\,m\,\varphi+i\,q\,h-i\,\omega\,t), &&\phi=\phi(r)\cdot\exp(i\,m\,\varphi+i\,q\,h-i\,\omega\,t).&&\qquad\eqno{(36)}\end{xalignat*}$$

После этого подстановка (36) в (34) даёт шесть уравнений. Три из них, связанные с магнитным полем, имеют вид

$$\begin{xalignat*}{2}&r\,\frac{dA^2}{dr}+2\,A^2-\frac{i\,m\,A^1}{r}-H^3=0,&&\qquad\eqno{(37)}\\ &r\,\frac{dA^3}{dr}-i\,r\,q\,A^1-\frac{m\,q\,H^3}{\beta^2}+\frac{i\,r\,\omega}{c\,\beta^2}\,\frac{dE^3}{dr}=0,&&\qquad\eqno{(38)}\\ &\frac{i\,m\,A^3}{r}-i\,r\,q\,A^2-\frac{m\,\omega\,E^3}{c\,\beta^2\,r}-\frac{i\,q}{\beta^2}\,\frac{dH^3}{dr}=0.&&\qquad\eqno{(39)}\end{xalignat*}$$

Следующие три уравнения содержат скалярный потенциал:

$$\begin{xalignat*}{2}&i\,q\,\phi-\frac{i\,\omega\,A^3}{c}+E^3=0,&&\qquad\eqno{(40)}\\ &i\,m\,\phi-\frac{i\,r^2\,\omega\,A^2}{c}-\frac{i\,r\,\omega}{c\,\beta^2}\,\frac{dH^3}{dr}-\frac{q\,m\,E^3}{\beta^2}=0,&&\qquad\eqno{(41)}\\ &r^2\,\frac{d\phi}{dr}-\frac{i\,r^2\,\omega\,A^1}{c}+\frac{i\,r^2\,q}{\beta^2}\,\frac{dE^3}{dr}-\frac{m\,r\,\omega\,H^3}{c\,\beta^2}=0.&&\qquad\eqno{(42)}\end{xalignat*}$$

При выводе уравнений (37), (38), (39), (40), (41), (42) используются формулы (13), (14), (24), (25), а также формула (11).

Уравнения (37) и (38) являются дифференциальными уравнениями относительно $A^2$ и $A^3$, в то время как уравнение (39) не содержит производных этих величин. Имеет место очень важное свойство согласованности уравнения (39) с уравнениями (37) и (38). Если продифференцировать уравнение (39) по $r$ и исключить из полученного уравнения производные от $A^2$ и $A^3$ при помощи уравнений (37) и (38), то получится равенство, которое будет выполнено в силу самого уравнения (39), а также уравнений (8) и (11). Поэтому, если решить уравнение (38) относительно $A^3$ и выразить $A^2$ через $A^3$ в силу уравнения (39), то уравнение (37) будет выполнено автоматически. Этот сценарий можно реализовать для случая $q\neq 0$, который мы рассмотрим в первую очередь.

Случай $q\neq 0$. В этом случае скалярный потенциал $\phi$ можно выразить через $A^3$ в силу уравнения (40):

$$\begin{xalignat*}{2}&\phi=\frac{\omega\,A^3+i\,c\,E^3}{q\,c}.&&\qquad\eqno{(43)}\end{xalignat*}$$

После подстановки (43) в (41) получается уравнение, равносильное (39). После подстановки (43) в (42) получается уравнение, равносильное (38). Таким образом, уравнения (40), (41), (42) выбывают из игры вместе с уравнением (37). Единственным дифференциальным уравнением, которое надо решить, остаётся уравнение (38). Компоненту $A^1$ в этом уравнении можно выбирать произвольным образом. Наиболее удачным будет выбор, при котором второе и третье слагаемые в уравнении (38) сокращают друг друга:

$$\begin{xalignat*}{2}&-i\,r\,q\,A^1-\frac{m\,q\,H^3}{\beta^2}=0.&&\qquad\eqno{(44)}\end{xalignat*}$$

Отсюда

$$\begin{xalignat*}{2}&A^1=\frac{i\,m\,H^3}{r\,\beta^2}.&&\qquad\eqno{(45)}\end{xalignat*}$$

Подстановка (45) в (38) приводит к дифференциальному уравнению, которое можно проинтегрировать явным образом:

$$\begin{xalignat*}{2}&\frac{dA^3}{dr}+\frac{i\,\omega}{c\,\beta^2}\,\frac{dE^3}{dr}=0,&&\qquad\eqno{(46)}\end{xalignat*}$$

Одно из решений уравнения (46) даётся формулой

$$\begin{xalignat*}{2}&A^3=-\frac{i\,\omega\,E^3}{c\,\beta^2}.&&\qquad\eqno{(47)}\end{xalignat*}$$

Подстановка (47) в уравнение (39) позволяет вычислить компоненту $A^2$:

$$\begin{xalignat*}{2}&A^2=-\frac{1}{r\,\beta^2}\,\frac{dH^3}{dr}.&&\qquad\eqno{(48)}\end{xalignat*}$$

Дальше подставляем (47) в (43) и находим скалярный потенциал $\phi$. С учётом формулы (11) это даёт

$$\begin{xalignat*}{2}&\phi=-\frac{i\,q\,E^3}{\beta^2}.&&\qquad\eqno{(49)}\end{xalignat*}$$

Случай $q=0$. Заметим, что формулы (45), (47), (48) и (49) не содержат $q$ в знаменателях. Их можно записывать и при $q=0$. Прямыми вычислениями можно проверить, что функции (45), (47), (48) и (49) дают решение уравнений (37), (38), (39), (40), (41), (42) при всех значениях $q$, в том числе и при $q=0$.

Лоренцевская калибровка для векторного и скалярного потенциалов задаётся соотношением

$$\begin{xalignat*}{2}&\frac{1}{c}\,\frac{\partial\phi}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf A=0.&&\qquad\eqno{(50)}\end{xalignat*}$$

С учётом экспоненциальной зависимости $\phi$ и компонент вектора $\mathbf A$ от $\varphi$, $h$ и $t$ соотношение (50) записывается в виде

$$\begin{xalignat*}{2}&\frac{i\,\omega\,\phi}{c}+\frac{dA^1}{dr}+\frac{A^1}{r}+i\,m\,A^2+i\,q\,A^3=0.&&\qquad\eqno{(51)}\end{xalignat*}$$

Прямой подстановкой (45), (47), (48) и (49) в (51) можно убедиться в том, что равенство (51) выполнено.

Теперь можно перейти к обсуждению волновой функции фотона. Один вариант формирования волновой функции фотона связан с возможностью записи уравнений Максвелла (3) в виде матричного уравнения Шрёдингера. Об этом мне стало известно от Юрия Ростовцева со ссылкой на книгу [3] Scully M. O., Zubairy M. S., Quantum optics, Cambridge university press, 1997:

$$\begin{xalignat*}{2}&i\,\hbar\,\frac{\partial\mathbf\Psi}{\partial t}=\hat{\mathcal H}\,\mathbf\Psi.&&\qquad\eqno{(52)}\end{xalignat*}$$

Здесь $\mathbf\Psi$ — шестикомпонентный вектор, составленный из компонент векторов $\mathbf E$ и $\mathbf H$, а $\hat{\mathcal H}$ — матричный дифференциальный оператор:

$$\begin{xalignat*}{3}&\mathbf\Psi=\begin{bmatrix}E^1\\ E^2\\ E^3\\ H^1\\ H^2\\ H^3\end{bmatrix},&&\hat{\mathcal H}=i\,\hbar\,c\, \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & -\partial/\partial x^3 & \partial/\partial x^2\\ 0 & 0 & 0 & \partial/\partial x^3 & 0 & -\partial/\partial x^1\\ 0 & 0 & 0 & -\partial/\partial x^2 & \partial/\partial x^1 & 0\\ 0 & \partial/\partial x^3 & -\partial/\partial x^2 & 0 & 0 & 0\\ -\partial/\partial x^3 & 0 & \partial/\partial x^1 & 0 & 0 & 0\\ \partial/\partial x^2 & -\partial/\partial x^1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. &&\qquad\eqno{(53)}\end{xalignat*}$$

Уравнение (52) выглядит симпатично. Особенно в связи с интегралами вида (33) которые позволяют нормировать волновую функцию фотона:

$$\begin{xalignat*}{2}&\Vert\mathbf\Psi\Vert^2=\int\int\int\frac{|\mathbf E|^2+|\mathbf H|^2}{8\,\pi}\,dx^1\,dx^2\,dx^3.&&\qquad\eqno{(54)}\end{xalignat*}$$

Перенормировка на единицу $\Vert\mathbf\Psi\Vert$ нужна для вероятностной интерпретации волновой функции.

alexsolodovnik в сообщении #1551917 писал(а):

По поводу граничных условий: думаю что волновая функция должна быть равна 0 на стенках, т.к. они проводящие. Думаю тут полная аналогия с классикой.

Да, для волновой функции частиц в ящике с непроницаемыми стенками обычно записываются нулевые граничные условия на стенках ящика. Здесь всё получилось сложнее. На цилиндрической границе резонатора в цилиндрических координатах из (12) выводим

$$\begin{xalignat*}{4}&\Psi^2(R)=0,&&\Psi^3(R)=0,&&\Psi^4(R)=0.&&\qquad\eqno{(55)}\end{xalignat*}$$

Граничные условия (55) отражают природу физических полей — электрического и магнитного, в то время как волновая функция имеет чисто вероятностную интерпретацию и физическим полем не признаётся (см. обсуждение этой проблемы в отдельной теме). Есть ещё две проблемы, связанные с волновой функцией в (52) и (53).

• Электрическое и магнитное поля являются вещественными функциями, в то время как волновая функция в квантовой механике изначально считается комплексной.
• Фотон — это релятивистская частица. Вид её волновой функции должен согласовываться со специальной и общей теориями относительности.

Использованные выше формулы (1) для электрического и магнитного полей содержат комплексный множитель $\exp(i\,m\,\varphi+i\,q\,h-i\,\omega\,t)$. Однако это не есть реальная комплексность полей. Комплексные экспоненты подобного рода используются при описании волновых и колебательных процессов как математический трюк, облегчающий вычисление сдвига фаз между отельными параметрами колебательной системы (например, между напряжением и током в цепи переменного тока). Вещественность волновой функции фотона, вытекающую из (53), можно считать исключением, характерным для фотона, но не характерным для прочих квантовых частиц. Однако есть другой взгляд на вещи. Можно допустить возможность комплексности электрического и магнитного полей, которая почему-то до сих пор не проявилась или не была обнаружена в эксперименте. После этого потребуется продумать и выполнить целенаправленные эксперименты по обнаружению комплексности $\mathbf E$ и $\mathbf H$.

Наиболее близким к волновой функции в (53) объектом в релятивистской электродинамике является тензор электромагнитного поля, изображаемый матрицами

$$\begin{xalignat*}{3}&F^{pq}=\begin{bmatrix}0 & -E^1 & -E^2 & -E^3\\ E^1 & 0 & -H^3 & H^2\\ E^2 & H^3 & 0 & -H^1\\ E^3 & -H^2 & H^1 & 0\end{bmatrix}, &&F_{pq}=\begin{bmatrix}0 & E^1 & E^2 & E^3\\ -E^1 & 0 & -H^3 & H^2\\ -E^2 & H^3 & 0 & -H^1\\ -E^3 & -H^2 & H^1 & 0\end{bmatrix}. &&\qquad\eqno{(56)}\end{xalignat*}$$

О волновой функции фотона говорится также в книге [4] Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Теоретическая физика, том 4. Квантовая электродинамика, Изд-во Наука, Москва 1989. В параграфе 3 главы 1 можно найти следующий текст.

Роль «уравнения Шрёдингера» для фотона играют уравнения Максвелла. ...
Говоря о волновой функции фотона подчеркнём лишний раз, что её отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности пространственной локализации фотона — в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской квантовой механике. ...

Далее в параграфе 4 главы 1 в той же книге можно найти следующий текст.

Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что координатная волновая функция фотона не может быть истолкована как амплитуда вероятности его пространственной локализации. В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в невозможности составить с помощью волновой функции величину, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам могла бы играть роль плотности вероятности. Такая величина должна была бы выражаться существенно положительной билинейной комбинацией из волновой функции и её комплексно сопряжённой. Кроме того, она должна была бы удовлетворять определённым требованиям релятивистской инвариантности — представлять собой временную компоненту 4-вектора ...

Действительно, в рамках общей теории относительности требуемый вектор плотности тока вероятности записать нельзя. Однако наяду с общей теорией относительности есть космология. В ней общая теория относительности применяется для описания одной конкретной вселенной, а именно той, в которой мы живём. В ней имеется одно особое событие — Большой взрыв. Из точки Большого взрыва во все стороны исходят геодезические линии. Все они времениподобные. Если мы отметим касательные вектора единичной длины во всех точках всех таких геодезических линий, то мы получим векторное поле единичных векторов, заполняющее всё пространство-время. Обозначим это поле через $\mathbf e$. После этого необходимый вектор плотности тока $\mathbf J$ легко строится:

$$\begin{xalignat*}{2}&J^i=\sum^3_{q=0} T^{iq}\,e_q.&&\qquad\eqno{(57)}\end{xalignat*}$$

Здесь $T^{iq}$ — компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Разумеется, вектор $\mathbf J$ в (57) — это четырёхмерный вектор плотности тока энергии. Его временная компонента совпадает с подинтегральным выражением в формуле (54). Для превращения вектора $\mathbf J$ в вектор плотности тока вероятности достаточно разделить его на норму $\Vert\mathbf\Psi\Vert^2$ из формулы (54).