Не понятна одна формула из статьи А.А.Тяпкина

[Modest2]

В прочитанной статье "Выражение общих свойств физических процессов в пространственно-временной метрике специальной теории относительности": http://www.mathnet.ru/links/6d9680d7afb ... n10560.pdf

на стр. 627-628 даны исходные данные и приведены формулировка и формула:
"Так, для света это различие в скоростях распространения «туда» и
«обратно» равно $2c (1 - 2 \mathcal{E})$".

Параметр $ε$ лежит в пределах $0 < \mathcal{E} < 1$.

Не могу получить формулу для света в предложенном автором виде.

Прошу помочь расписать вывод формулы в одну сторону $v = 2c (1-2\mathcal{E})$

У меня получается $v = \frac{c} {2\mathcal{E}}$.
Получил это так:
из $t_2(x) = t_1(0) + \mathcal{E}[t_3(0) - t_1(0)]$ следует, что время в одну сторону $t_2 - t_1 = \mathcal{E}[t_3(0) - t_1(0)]$, тогда односторонняя скорость будет $\frac {x} {\mathcal{E}[t_3(0) - t_1(0)]}$.

Домножив числитель и знаменатель последней дроби на $2$ и зная, что средняя скорость света $c= \frac {2x}{[t_3(0) - t_1(0)]}$, получаем:

$$\frac {2x} {2\mathcal{E}[t_3(0) - t_1(0)]} = \frac{c} {2\mathcal{E}}$$

.

Но я где-то ошибся, т.к. статья прошла глубокую экспертизу и на неё есть рецензия опубликованная редакцией.

[Lia]

Modest2 в сообщении #1549988 писал(а):

У меня получается V $в одну сторону$ = с/2s.

Пишите, как делали. Иначе подсказать, где Вы ошибаетесь, участникам будет сложно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и),
- капслок уберите, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

Статья интересная. Мне тоже всегда казалось, что этот момент (произвольное соглашение о равенстве скоростей света "туда" и "обратно") практически никогда не обсуждается в учебной литературе. Из-за этого, по моему, многие ощущают в СТО некоторый порочный круг: в ней на самом деле содержится нечто произвольное, хотя явно об этом не говорится. При этом, поскольку от выбора варианта этого произвольного соглашения действительно ничего не зависит, на нем, конечно, можно и не заострять внимание, молчаливо выбрав самый простой вариант.

Но, на мой взгляд, все же было бы более правильным при изложении СТО говорить нечто вроде "При измерении скорости света в одну сторону из точки $A$ в точку $B$ встает вопрос о необходимости двух синхронных часов в точках $A$ и $B$. Но сама возможность синхроннизации таких часов требует уже известной скорости света от $A$ к $B$. Возникает порочный круг: чтобы измерить скорость света в одну сторону, ее уже нужно знать. Выход из этой безвыходной ситуации оказался в том, что на самом деле нам вовсе не нужно разрешать эту проблему. Мы можем обьявить скорость света в одну сторону из $A$ в $B$ любой, а часы в точках $A$ и $B$, синхронизированные световым импульсом с учетом этого предположения об односторонней скорости света - синхронными. Нам нужно лишь, чтобы удаленные часы синхронизировались на основании предположения (произвольного) о скорости света по разным направлениям. Само это предположение о скорости света ни на что не влияет. Выберем в качестве такого предположения самое простое - что скорость света одинакова по всем направлениям."

[Someone]

(sergey zhukov)

sergey zhukov в сообщении #1550056 писал(а):

этот момент (произвольное соглашение о равенстве скоростей света "туда" и "обратно") практически никогда не обсуждается в учебной литературе.

Собственно говоря, у меня нет учебной литературы по СТО, в которой изложение теории начиналось бы с формулировки соглашения о синхронизации часов и формулировки постулатов, и я не помню, как это излагалось нам в МГУ, когда я был студентом. Но у Эйнштейна в работе "К электродинамике движущихся тел" в § 1 написано следующее.

Эйнштейн писал(а):

Если в точке $A$ пространства помещены часы, то наблюдатель, находящийся в $A$, может устанавливать время событий в непосредственной близости от $A$ путем наблюдения одновременных с этими событиями положений стрелок часов. Если в другой точке $B$ пространства также имеются часы (мы добавим: «точно такие же часы, как в точке $A$»), то в непосредственной близости от $B$ тоже возможна временная оценка событий находящимся в $B$ наблюдателем. Однако невозможно без дальнейших предположений сравнивать во времени какое-либо событие в $A$ с событием в $B$; мы определили пока только «$A$-время» и «$B$-время», но не общее для $A$ и $B$ «время». Последнее можно установить, вводя определение, что «время», необходимое для прохождения света из $A$ в $B$, равно «времени», требуемому для прохождения света из $B$ в $A$.

Здесь прямо сказано, что сравнение часов в удалённых точках невозможно без $\langle$произвольных$\rangle$ предположений, и что понятие одновременности фактически вводится $\langle$произвольным$\rangle$ определением, причём, эти слова у Эйнштейна выделены курсивом.

[Modest2]

Someone в сообщении #1550118 писал(а):

что «время», необходимое для прохождения света из $A$ в $A$,

Исправьте, пожалуйста описку при перепечатке на "из $A$ в $B$".

Есть возможность ответить на поставленный в теме вопрос?

[Someone]

(Modest2)

Modest2 в сообщении #1550124 писал(а):

Исправьте, пожалуйста описку при перепечатке на "из $A$ в $B$".

Спасибо, исправил.

[Modest2]

На форуме нет специалистов, которые могли бы помочь?

Ведь результаты расчетов односторонней скорости от минимальной до максимальной по абсолютной величине резко меняются:
от $0$ до $2c$ по статье;
от $c/2$ до бесконечности по моему дилетантскому расчету.

[sergey zhukov]

Modest2
Да тут же все ясно. Скажем, скорость течения воды в реке относительно берега может меняться в пределах $-c...c$. Две лодки выходят из одной точки со скоростью $c$ относительно воды в противоположных направлениях. Чему будут равны их скорости относительно берега и разность модулей этих скоростей? Ясно, что разность модулей скоростей будет в пределах $-2c...2c$, это следует из предельных случаев, когда скорость реки равна $+c$ или $-c$: одна лодка неподвижна, другая имеет скорость $2c$. Это и есть формула из статьи.

Скорость реки более $c$ по модулю не рассматривается.

[Modest2]

sergey zhukov в сообщении #1550342 писал(а):

Modest2
Да тут же все ясно. Скажем, скорость течения воды в реке относительно берега может меняться в пределах $-c...c$. Две лодки выходят из одной точки со скоростью $c$ относительно воды в противоположных направлениях. Чему будут равны их скорости относительно берега и разность модулей этих скоростей? Ясно, что разность модулей скоростей будет в пределах $-2c...2c$, это следует из предельных случаев, когда скорость реки равна $+c$ или $-c$: одна лодка неподвижна, другая имеет скорость $2c$. Это и есть формула из статьи.

Скорость реки более $c$ по модулю не рассматривается.

Да, логика наличия эфира понятна, но я прошу не словесного описания, а математического.

Есть математическое представление изложенное в статье, там вычислен период времени на прохождение света в одну сторону.
Представлены и логически и математически безупречно исходные данные.
А далее дано уравнение, которое вызвало мой вопрос.

Прошу именно математически правильно вывести из исходных данных результирующую формулу.
Причем исходные данные можно обосновать на взгляд рецензента и по иному, но математически время на движение света в одну сторону.

[пианист]

Тоже, кстати, не понял.
Из формулы $t_2(x) = t_1(0) + \varepsilon [t_3(0) - t_1(0)]$ вроде бы следует, что в точках $\varepsilon = 0$ и $\varepsilon = 1$ скорость (в соответствующую сторону) должна иметь особенность.
upd
Таки получилось, если взять первый член асимптотики при $\varepsilon \approx \frac{1}{2}$

[sergey zhukov]

Modest2
Формула из статьи - это разность модулей скоростей туда и обратно. А вы получили формулу для скорости в одну сторону (туда). Теперь нужно вычесть из нее скорость в другую сторону (обратно).

[waxtep]

В лоб из формул действительно выводится лишь $\dfrac{c^+-c^-}{c^++c^-}=1-2\varepsilon$, где $c^\pm$ - предельные скорости туда и обратно. Формула из статьи получается при дополнительном предположении, что $c^\pm$ не вовсе произвольны, а равны $c\pm v$ для некоторого $v,0\leqslant v\leqslant c$. Выше по тексту это упоминается в контексте специфического эксперимента, см. с. 626

[sergey zhukov]

Modest2
Скорость света по разным направлениям получается различной потому, что наблюдатель предполагает эфирный ветер (или что он находится в движении в эфире). В таком случае он должен помнить, что его часы в потоке эфирного ветра идут медленее. Да, он может предположить, что скорость света "туда" является бесконечной, а "обратно" она равна только $\frac{c}{2}$ (или наоборот). Но эта ситуация соответствует бесконечному замедлению его часов, и если он учтет этот эффект и поделит все скорости на фактор замедления собственных часов, то он получит, что скорость света "туда" равна $2c$, а "обратно" - нулю (или наоборот).

Так он вычислит относительные скорости между ним и лучами света, которые измерил бы неподвижный в эфире наблюдатель. Эти скорости имеются ввиду в формуле $\Delta=2c(1-2\varepsilon)$.