2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение08.03.2022, 17:04 


06/08/17
135
Здравствуйте. Для исходного уравнения кривой $3 x^4-10 x^2+y^2+3=0$ Maple дает род 1. Очевидны рациональные точки $( x= \pm 1,y= \pm 2 )$. Чтобы воспользоваться формулами удвоения и сложения точен, привел кривую к форме Вейерштрасса. Maple выдала $ x_0^3-\frac{208}{3} x_0+\frac{4480}{27}+y_0^2=0$. Но формулы преобразования
$[x_0 = -\frac{2 (\sqrt{-3} y+5 x^2-9)}{3 x^2}, y_0 = \frac{4 (-5 \sqrt{-3} x^2+3 \sqrt{-3}+3 y)}{x^3}]$ и иррациональны и комплексны.
Получается, что находя рациональные точки кривой в форме Вейерштрасса, мы находим точки исходной кривой, которые заведомо и иррациональны и комплексны. Они нам не нужны.
Вероятно можно в форме Вейерштрасса взять точку $[x_0 = -4 \sqrt{-3}+\frac{8}{3}, y_0 = -8 \sqrt{-3}+24]$, соответствующую $( x=  1,y= 2 )$ исходной кривой, и ее удваивать и т.д.
Но это выглядит дико! Может кто подскажет, в чем заковыка ичто делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение08.03.2022, 17:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Иногда Maple'у нужно помочь --- подсказать какую-нибудь рациональную точку кривой. В данном случае вот так:
Код:
Weierstrassform(3*x^4-10*x^2+y^2+3,x,y,u,v,[1,2,1]);
Здесь $[1,2,1]$ --- проективные координаты точки кривой $(x,y)=(1,2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение08.03.2022, 21:44 


06/08/17
135
Спасибо. Зря я игнорировал последние опции преобразования! С Вашей поправкой с рациональностью все в порядке. Но все равно не понятно как воспользоваться формулой удвоения?! При преобразовании точки $( x=1, y=\pm 2 )$ уходят на бесконечность а точки $( x=-1, y=\pm 2 )$ имеют $y_0=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение11.03.2022, 10:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Здесь не надо ничего удваивать. Исходная кривая имеет нулевой ранг и не несет на себе других рациональных точек, кроме тех точек кручения, которые Вы указали выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение11.03.2022, 22:12 


06/08/17
135
Наконец то заработал интернет!
Спасибо, и два вопроса: 1) Как Вы доказали, что ранг кривой 0? 2) Как Вы доказали, что это все рациональные точки?
Почему эти не надо удваивать я понял, построив касательные к исходной кривой. Оказалось, касательные в точках $( x=1, y=2 )$ и $( x=-1, y=-2 )$ совпадают!
Вообще возникло сомнение, что род исходной кривой 1. На ней вроде нет особых точек. Следовательно ее род равен 3. Если ошибаюсь я , а не Maple , подскажите в чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение12.03.2022, 12:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Если интересны подробности, то вот они. Исходная кривая $y^2+3x^4-10x^2+3=0\qquad(1)$ бирационально изоморфна кривой $w^2=u^3-20u^2+64u\qquad(2)$ (Maple). Род её равен 1. Сл-но, и род исходной кривой равен 1. Формулы перехода от $x,y$ к $u,w$ и обратно получаются с помощью Maple. Ранг $(2)$ вычисляется с помощью Pari и он равен нулю.
Сл-но, на кривой $(2)$ нет рациональных точек бесконечного порядка. Рациональные точки на $(2)$ конечного порядка (точки кручения) вычисляются стандартным образом или с помощью Magma. Их четыре. Это $(u,w)=(0,0), (4,0), (16,0), \infty$. И других рациональных точек на $(2)$ нет.
После перехода от $u,w$ к $x,y$ получаем уже указанные выше рациональные точки на $(1)$. Это $(x,y)=(\pm{1},\pm{2})$. И других нет в силу бирационального изоморфизма $(1)$ и $(2)$.
Припоминаю, что похожие тексты для Volik я уже на форуме неоднократно помещал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение12.03.2022, 13:45 


06/08/17
135
Большое спасибо за разъяснения! Буду пережевывать. Дело в том что если рациональны только эти точки, то я ранее где то ошибся при получении этой кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение12.03.2022, 18:25 


06/08/17
135
Вдогонку. (Гугл не помог!) Как PARI/GP вычисляет ранг кривой, если везде читаю что это невозможно? И еще, как для ранга 0 убедиться что других рациональных точек нет? Для кривой рода больше 1 хоть известно что их не более 16. А для рода 1, хоть и 0-го ранга аналогичной границы вроде нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение12.03.2022, 22:14 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Volik, ранги эллиптических кривых вычисляются, хотя, как правило, совсем неэлементарными методами.
И мой Вам совет, внимательно посмотрите моё последнее сообщение, кроме того, прочитайте для начала книжку на русском языку "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые" В.В. Острик, М.А. Цфасман. Она простая и доступная. Если знакомство уже состоялось, то тогда непонятно, откуда вопросы из Вашего последнего сообщения.
Короче, какой-то сумбур вместо музыки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0
Сообщение12.03.2022, 23:23 


06/08/17
135
Извините за сумбур. В.В. Острик, М.А. Цфасман давно читал и, видимо, небрежно. Буду разбираться. Спасибо за внимание.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group