Форма Вейерштрасса для 3*x^4-10*x^2+y^2+3=0

[Volik]

Здравствуйте. Для исходного уравнения кривой $3 x^4-10 x^2+y^2+3=0$ Maple дает род 1. Очевидны рациональные точки $( x= \pm 1,y= \pm 2 )$. Чтобы воспользоваться формулами удвоения и сложения точен, привел кривую к форме Вейерштрасса. Maple выдала $ x_0^3-\frac{208}{3} x_0+\frac{4480}{27}+y_0^2=0$. Но формулы преобразования
$[x_0 = -\frac{2 (\sqrt{-3} y+5 x^2-9)}{3 x^2}, y_0 = \frac{4 (-5 \sqrt{-3} x^2+3 \sqrt{-3}+3 y)}{x^3}]$ и иррациональны и комплексны.
Получается, что находя рациональные точки кривой в форме Вейерштрасса, мы находим точки исходной кривой, которые заведомо и иррациональны и комплексны. Они нам не нужны.
Вероятно можно в форме Вейерштрасса взять точку $[x_0 = -4 \sqrt{-3}+\frac{8}{3}, y_0 = -8 \sqrt{-3}+24]$, соответствующую $( x= 1,y= 2 )$ исходной кривой, и ее удваивать и т.д.
Но это выглядит дико! Может кто подскажет, в чем заковыка ичто делать?

[nnosipov]

Иногда Maple'у нужно помочь --- подсказать какую-нибудь рациональную точку кривой. В данном случае вот так:

Weierstrassform(3*x^4-10*x^2+y^2+3,x,y,u,v,[1,2,1]);

Здесь $[1,2,1]$ --- проективные координаты точки кривой $(x,y)=(1,2)$.

[Volik]

Спасибо. Зря я игнорировал последние опции преобразования! С Вашей поправкой с рациональностью все в порядке. Но все равно не понятно как воспользоваться формулой удвоения?! При преобразовании точки $( x=1, y=\pm 2 )$ уходят на бесконечность а точки $( x=-1, y=\pm 2 )$ имеют $y_0=0$

[scwec]

Здесь не надо ничего удваивать. Исходная кривая имеет нулевой ранг и не несет на себе других рациональных точек, кроме тех точек кручения, которые Вы указали выше.

[Volik]

Наконец то заработал интернет!
Спасибо, и два вопроса: 1) Как Вы доказали, что ранг кривой 0? 2) Как Вы доказали, что это все рациональные точки?
Почему эти не надо удваивать я понял, построив касательные к исходной кривой. Оказалось, касательные в точках $( x=1, y=2 )$ и $( x=-1, y=-2 )$ совпадают!
Вообще возникло сомнение, что род исходной кривой 1. На ней вроде нет особых точек. Следовательно ее род равен 3. Если ошибаюсь я , а не Maple , подскажите в чем.

[scwec]

Если интересны подробности, то вот они. Исходная кривая $y^2+3x^4-10x^2+3=0\qquad(1)$ бирационально изоморфна кривой $w^2=u^3-20u^2+64u\qquad(2)$ (Maple). Род её равен 1. Сл-но, и род исходной кривой равен 1. Формулы перехода от $x,y$ к $u,w$ и обратно получаются с помощью Maple. Ранг $(2)$ вычисляется с помощью Pari и он равен нулю.
Сл-но, на кривой $(2)$ нет рациональных точек бесконечного порядка. Рациональные точки на $(2)$ конечного порядка (точки кручения) вычисляются стандартным образом или с помощью Magma. Их четыре. Это $(u,w)=(0,0), (4,0), (16,0), \infty$. И других рациональных точек на $(2)$ нет.
После перехода от $u,w$ к $x,y$ получаем уже указанные выше рациональные точки на $(1)$. Это $(x,y)=(\pm{1},\pm{2})$. И других нет в силу бирационального изоморфизма $(1)$ и $(2)$.
Припоминаю, что похожие тексты для Volik я уже на форуме неоднократно помещал.

[Volik]

Большое спасибо за разъяснения! Буду пережевывать. Дело в том что если рациональны только эти точки, то я ранее где то ошибся при получении этой кривой.

[Volik]

Вдогонку. (Гугл не помог!) Как PARI/GP вычисляет ранг кривой, если везде читаю что это невозможно? И еще, как для ранга 0 убедиться что других рациональных точек нет? Для кривой рода больше 1 хоть известно что их не более 16. А для рода 1, хоть и 0-го ранга аналогичной границы вроде нет?

[scwec]

Volik, ранги эллиптических кривых вычисляются, хотя, как правило, совсем неэлементарными методами.
И мой Вам совет, внимательно посмотрите моё последнее сообщение, кроме того, прочитайте для начала книжку на русском языку "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые" В.В. Острик, М.А. Цфасман. Она простая и доступная. Если знакомство уже состоялось, то тогда непонятно, откуда вопросы из Вашего последнего сообщения.
Короче, какой-то сумбур вместо музыки.

[Volik]

Извините за сумбур. В.В. Острик, М.А. Цфасман давно читал и, видимо, небрежно. Буду разбираться. Спасибо за внимание.