Найти сумму, содержащую биномиальные коэффициенты

[AndreyXYZ]

Подскажите, как найти такую сумму:

$$\sum\frac{1}{k}{n\choose k}$$

И, кстати, какие теги нужно использовать, чтобы красиво написать сочетания из n по k?

[maxal]

Заметьте, что это ничто иное как значение $f(1)$, где

$$f(x) = \sum_{j=0}^n \binom{n}{k} \frac{x^k}{k}.$$

Остается только продифференцировать, свернуть, и проинтегрировать эту функцию...

[AndreyXYZ]

Спасибо!

[AndreyXYZ]

Мне кажется, таким способом решить нельзя! После дифференцирования получаем следующую сумму, которая по-нормальному не сворачивается:

$$f(x) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^{k-1}=\frac {(x+1)^n-1}{x}$$

При интегрировании в конце концов приходим к сумме:

$$\sum_{m=1}^n \frac{2^m}{m}$$

[Brukvalub]

Так и ищите $xf(x)$, а потом разделите на х.

[AndreyXYZ]

Я исправил свой пост до Вашего ответа. Так и делаю, но ничего не получается (см. выше мои выкладки)

[Brukvalub]

AndreyXYZ в сообщении #155170 писал(а):

При интегрировании в конце концов приходим к сумме:

$$\sum_{m=1}^n \frac{2^m}{m}$$

Так это значение в точке 2 функции $\sum\limits_{m = 1}^n {\frac{{x^m }}{m}} $, для вычисления которой также можно применить дифференцирование.

[AndreyXYZ]

Да, но её уже проинтегрировать никак не получится!

[Brukvalub]

AndreyXYZ в сообщении #155177 писал(а):

Да, но её уже проинтегрировать никак не получится!

Да, похоже, так не получится...
Тогда делаем так, как написано в Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики на стр. 278, упр. 5.58, или там же на стр. 389 с использованием производящих функций.

[Trotil]

Если сумма не сворачиваемая, то другими способами вряд ли можно прийти к сворачиваемой сумме

P.S. Другим способом у меня получилось

$$\sum_{m=1}^n \frac{2^m-1}{m}$$

так.

[Brukvalub]

Trotil в сообщении #155222 писал(а):

Если сумма не сворачиваемая, то другими способами вряд ли можно прийти к сворачиваемой сумме

Вы делали так, как написано в приведенной мной ссылке? Ведь там даны и готовые замкнутые формулы.

[Trotil]

Brukvalub писал(а):

Вы делали так, как написано в приведенной мной ссылке? Ведь там даны и готовые замкнутые формулы.

Нет, я другим способом решил.
А в приведенной ссылке $H_m$ (из ответов) - это слабо похоже на замкнутость, это и есть сокращенная запись ряда.