Первые два закона Максвелла и виток с током на кольце

[specialist]

Здравствуйте, решил побаловаться, и поглядеть как применяются первые два закона Максвелла в интегральной форме к простой ситуации: есть кольцевой магнитопровод, на нем есть 1 виток, в витке течёт ток, какой почти не важно.

$$\oint\limits_{l_{\text{витка}}}^{}\mathbf {E_{\text{витка}}}d\mathbf{l}=-\int\limits_{S_{\text{витка}}}^{}\frac{\partial{\mathbf{B_{\text{скв.вит}}}}}{\partial{t}}d\mathbf{S}$$

$$\oint\limits_{l_{\text{ср.магн}}}^{}\mathbf {H_{\text{скв.вит}}}d\mathbf{l}=\int\limits_{S_{\text{скв.вит}}}^{}\mathbf{J_{\text{витка}}}d\mathbf{S}=i_{\text{витка}}$$

$$\mathbf{J_{\text{витка}}}=\sigma\mathbf {E_{\text{витка}}}$$

подставляем последнее в первое

$$\oint\limits_{l_{\text{витка}}}^{}\mathbf {J_{\text{витка}}}d\mathbf{l}=-\sigma\int\limits_{S_{\text{витка}}}^{}\frac{\partial{\mathbf{B_{\text{скв.вит}}}}}{\partial{t}}d\mathbf{S}$$

будем считать что плотность тока не зависит от площади сечения провода витка так и не зависит от конкретного места витка, выделим ток:

$$i_?=-\frac{\sigma S_{\text{провода}}}{l_{\text{витка}}}\int\limits_{S_{\text{витка}}}^{}\frac{\partial{\mathbf{B_{\text{скв.вит}}}}}{\partial{t}}d\mathbf{S}$$

далее я думаю, что

$$i_?=i_{\text{витка}}$$

или

$$\oint\limits_{l_{\text{ср.магн}}}^{}\mathbf {H_{\text{скв.вит}}}d\mathbf{l}=-\frac{\sigma S_{\text{провода}}}{l_{\text{витка}}}\int\limits_{S_{\text{витка}}}^{}\frac{\partial{\mathbf{B_{\text{скв.вит}}}}}{\partial{t}}d\mathbf{S}$$

и если предполагая, что напряжённость не зависит от координаты средней линии магнитопровода, и магнитная индукция не зависит от площади то:

$$\mathbf{H_{\text{скв.вит}}}=-\frac{\sigma S_{\text{провода}}S_{\text{витка}}}{l_{\text{витка}}l_{\text{ср.магн}}}\frac{\partial{\mathbf{B_{\text{скв.вит}}}}}{\partial{t}}$$

что совсем не учитывает материал кольца, и совсем не похоже на материальное уравнение

$$\mathbf{B}=\mu\mu_0\mathbf{H}$$

а значит ошибка.
скорее всего вот это

$$i_?=i_{\text{витка}}$$

не верно.
но тогда, я не знаю как применить первые два закона Максвелла правильно?
можно подсказку?

[specialist]

Что все настолько очевидно, что никто не отвечает? или нельзя было выражать токи?
Вообще все началось с трансформатора. У меня сложилось такое впечатление, что когда описывают трансформатор, поток по магнитопроводу считают постоянным (с некоторым приближением), даже если есть зазор. Однако, магнитное поле (напряжённость) создаётся током. И на сколько я понимаю, напряжённость должна быть одинаковой и в зазоре и магнитопроводе, а вот индукция должна быть разной в магнитопроводе относительно зазора, и если это так, то и поток тоже будет разный. Но это скорее всего не верно, том же Бессонове в трансформаторе поток постоянный, а когда читают какое поле создаёт ток на в катушке торе, то считают через напряженность и потом говорят: если тор имеет магнитную проницаемость, то что бы посчитать индукцию, нужно воспользоваться соответствующем материальным уравнением.
Два подхода меня смутили, и так как уравнения Максвелла должны работать везде в электротехники, то нужный мне ответ должен просто выводиться из них. Поэтому я и решил вывести ток для для витка на кольце.

[specialist]

Смущение прошло, постоянство потока в замкнутой магнитной цепи, наверное является следствием уравнением Максвелла про отсутствие магнитных зарядов. Но это не отменяет того, что ток в витке возникающий в следствии эдс, можно использовать в законе полного тока, и меня смущает возникающее соотношение магнитной напряжённости и индукции. Можете пояснить что не так?

[rascas]

specialist в сообщении #1549567 писал(а):

$$\mathbf{H_{\text{скв.вит}}}=-\frac{\sigma S_{\text{провода}}S_{\text{витка}}}{l_{\text{витка}}l_{\text{ср.магн}}}\frac{\partial{\mathbf{B_{\text{скв.вит}}}}}{\partial{t}}$$

что совсем не учитывает материал кольца, и совсем не похоже на материальное уравнение

$$\mathbf{B}=\mu\mu_0\mathbf{H}$$

а значит ошибка.
скорее всего вот это

$$i_?=i_{\text{витка}}$$

Всё верно. Пока ни каких ошибок.
specialist, Вы знаете что такое дифференциальные уравнения? Знаете как их решать?

-- 26.02.2022, 20:15 --

specialist в сообщении #1549592 писал(а):

трансформатор, поток по магнитопроводу считают постоянным (с некоторым приближением),даже если есть зазор.
Однако, магнитное поле (напряжённость) создаётся током. И на сколько я понимаю, напряжённость должна быть одинаковой и в зазоре и магнитопроводе,
а вот индукция должна быть разной в магнитопроводе относительно зазора,
и если это так, то и поток тоже будет разный.

У Вас здесь перепутались: Вектор магнитной индукции $B$ (Измеряется в теслах) и напряжённость магнитного поля $H$ (Измеряется в $A/\text{м}$)

Если рассматривать магнитопровод с зазором у трансформатора, то индукция ($B$) там везде одинаковая, что в магнитопроводе, что в зазоре. А вот напряжённость магнитного поля ($H$) в зазоре гораздо больше, чем в магнитопроводе.

[specialist]

Меня волнует, что если, напряжённость есть функция от длинны, то решением ОДУ совместно с материальным уравнением, будет функция индукции, которая будет зависеть не только от времени, но и от длинны.
При том что если утверждается, что поток постоянный по длине, то и индукция "везде одинаковая". И тут у меня что-то не сходится.

[EUgeneUS]

specialist

Меня гложут смутные сомнения, что причина Вашей запутанности вот в чем:
1. Уравнения Максвелла, конечно, верны всегда.
2. Вы же, после того как записали их, начинаете подставлять одно в другое, но при этом неявно предполагаете, что больше никаких внешних воздействий на систему нет. Нет, в частности, никакого внешнего электрического или магнитного поля.
3. Всё подставив, включая материальное уравнение, Вы получите ОДУ, решением которого будет убывающая экспонента. В точности, как это и должно получиться для $LR$-цепочки, которая у вас и получилась.

specialist в сообщении #1549613 писал(а):

решением ОДУ совместно с материальным уравнением, будет функция индукции, которая будет зависеть не только от времени, но и от длинны.

Будет функция, которая будет зависеть от $L$ и $R$.
А вот сами $L$ и $R$ будут зависеть от геометрических размеров и от $\mu$ и $\sigma$, всё как и должно быть.
Разве что, $L$, посчитанная по Вашим приближенным формулам скорее всего окажется довольно таки грубым приближением.

[rascas]

specialist в сообщении #1549613 писал(а):

если, напряжённость есть функция от длинны, то решением ОДУ совместно с материальным уравнением, будет функция индукции, которая будет зависеть не только от времени, но и от длинны.

Совсем не обязательно.
Предположим у нас получилась напряжённость магнитного поля в магнитопроводе $H_m$ и в зазоре $H_a$ ($H_m \neq H_a$)

Тогда индукция магнитного поля в магнитопроводе $B_m=\mu\mu_0 H_m$, в зазоре $B_a=1\mu_0 H_a$
где $\mu$ -магнитная проницаемость материала магнитопровода

Ничего не противоречит тому, что $B_m=B_a$ (т.е. индукция не зависит от длины)