Разобраться в гидро-термодинамике потока

[apt]

Вопрос первый:
В книге (мы учимся по ней) Свиридова В.Г. "Введение в механику жидкости и газа", её можно найти, например здесь, на 65стр. написано:

Цитата:

Выше отмечалось, что движение идеальной жидкости всегда адиабатическое, поэтому для сжимаемой жидкости плотность и давление связаны уравнением адиабаты

$$\frac{p}{\rho^k}=\operatorname{const}, (4.8)$$

а для несжимаемой - $\rho(p)=\operatorname{const}.$

Но разве уравнение (4.8) - не является уравнением адиабаты только идеального газа? Почему мы можем использовать его при описании капельных жидкостей?
Вопрос второй:
Интеграл Бернулли

$$\varepsilon=pv+gz+\frac{w^2}{2}$$

где $v=1/\rho$ - удельный объём, $w$ -скорость.
Почему-то всегда его дифференциал встречал лишь в такой форме:

$$d\varepsilon=vdp+gdz+wdw$$

Но куда девается второе слагаемое из $d(pv)=vdp+pdv$?
Вопрос третий:
Адиабатное течение потока через сопло Лаваля.
Из формулы

$$\frac{dw}{w}\left[M^2-1\right]=\frac{d\Sigma}{\Sigma}$$

ясно видно, что если

1. дозвук $M<1$ сечение расширяется $d\Sigma>0$, то $dw<0$ - поток замедляется
2. дозвук $M<1$ сечение сужается $d\Sigma<0$, то $dw>0$ - поток укоряется
3. сверхзвук $M>1$ сечение расширяется $d\Sigma>0$, то $dw>0$ - поток укоряется
4. сверхзвук $M>1$ сечение сужается $d\Sigma<0$, то $dw<0$ - поток замедляется

Как происходит переход в сопле Лаваля через скорость звука, когда $M=1$? Ибо в таком случае из уравнения изменение скорости потока не зависит от изменения сечения.
Ещё сюда же: имеет ли какой-то смысл следствие из этой формулы при $M=1$?

$$\frac{d\Sigma}{\Sigma}=0$$

[sergey zhukov]

Первый вопрос:

Часто в курсах газовой динамики несжимаемой жидкостью называют газ, сжимаемостью которого (в данной задаче) можно пренебречь. Если же нельзя, то имеем уравнение состояния $\rho=\rho(P)$ для идеального газа в адиабатном процессе.

Именно для капельной жидкости может быть и другое уравнение $\rho=\rho(P)$. Скажем, одно из уравнений реального газа, такое, как уравнение Ван-дер-Ваальса.

Второй вопрос:

Предполагается несжимаемость, очевидно. $dv=0$

Третий вопрос:

Если газ достиг $M=1$ в критическом сечении, то из этой формулы как будто следует, что он и дальше может сохранять $M=1$ независимо от изменения сечения. Скажем, за критическим сечением он может и не ускоряться. Я думаю, что этот режим просто неустойчив. Кроме того, эта формула справедлива для упрощения (одномерного течения), т.е. такой режим - это следствие одномерного приближения.

[apt]

sergey zhukov в сообщении #1549562 писал(а):

Если же нельзя, то имеем уравнение состояния $\rho=\rho(P)$ для идеального газа в адиабатном процессе.

Именно для капельной жидкости может быть и другое уравнение $\rho=\rho(P)$. Скажем, одно из уравнений реального газа, такое, как уравнение Ван-дер-Ваальса.

Т.е. неправильным количественным описанием можно принебречь? В всмысле того, что если газ сжимается, то его сжатие может быть более-менее с малыми погрешностями хорошо описано ур-ем состояния идеального газа?

sergey zhukov в сообщении #1549562 писал(а):

Второй вопрос:
Предполагается несжимаемость, очевидно. $dv=0$

Однако затем для постоения уравнения, которое в третьем вопросе, используется замена $dv$ в уравнении сохранения массы

$$\frac{d\Sigma}{\Sigma}+\frac{dw}{w}-\frac{dv}{v}=0$$

через $dp$ с помощью

$$dp=\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_sdv+\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_vds$$

Слагаемое с дифференциалом энтропии равно нулю, а вот первое....
В связи с предположением несжимаемости, по идее, так же должно быть равно нулю.
Да и сразу в самом уравнении сохранения массы так же последнее слагаемое должно исчезнуть

[sergey zhukov]

apt
Часто даже самой сжимаемостью можно пренебречь с хорошей точностью. Уж для капельных жидкостей это вообще почти всегда. Конечно, в газодинамике используются всевозможные упрощения и приближения. Не стоит на них зацикливаться, это хорошие приближения. В рамках этих приближений можно очень многое описывать верно.

apt в сообщении #1549563 писал(а):

Однако затем

Вот при рассмотрении сопла Лаваля сжимаемостью газа уже никак пренебрегать нельзя. Иначе мы и получили бы просто тот самый интеграл Бернулли с $dv=0$. Никаких критических сечений, никакой скорости звука. Все это - следствие сжимаемости.

[SNS2D]

sergey zhukov в сообщении #1549562 писал(а):

Второй вопрос:

Предполагается несжимаемость, очевидно. $dv=0$

Нет, не предполагается. Интеграл Бернулли записывается в виде $\varepsilon = pv + gz + w^2/2$ только для несжимаемой жидкости; в общем случае $\varepsilon = h + gz + w^2/2$, где $h = e + pv$ --- энтальпия единицы массы ($e$ --- внутренняя энергия единицы массы, которую удобно рассматривать как функцию энтропии единицы массы $s$ и удельного объёма $v$). Поскольку для изэнтропического течения идеальной несжимаемой жидкости $e = \makebox{const}$, для неё $e$ можно опустить. Если учесть сжимаемость, то $dh(s,v) = d(e(s, v) + pv) = Tds - pdv + d(pv) = Tds + vdp$, и для изэнтропического процесса ($ds = 0$) получаем $dh = vdp$. В упомянутой книжке Валуевой и Свиридова написано по-существу то же самое, только вместо энтальпии введена обозначенная прописной буквой $P$ (можно спутать с давлением $p$, которое является её аргументом) ``функция давления'' $P(p)$, дифференциал которой совпадает с дифференциалом энтальпии, если $s = \makebox{const}$.