найти значение выражения, используя другое выражение

[Ivan 09]

Известно, что $x+\frac{1}{x}=1$. Найти $x^7+\frac{1}{x^7}$.


я использовал из начального уравнения $\frac{1}{x}=1-x$ и $x^2+1=x$, $x^2=x-1$. Также $x^2-x=-1$
привожу свое решение

$x^7=x^6\cdot x=x\cdot(x-1)^3 =-x(1-x)^3$

Из начального уравнения $\frac{1}{x}=1-x$

$(\frac{1}{x})^7=(1-x)^7$
Тогда
$-x(1-x)^3+(1-x)^7=(1-x)^3 ((1-x)^4-x)$ (1)

$(1-x)^4=(1-x)^2(1-x)^2=(1-2x+x^2)^2=(-x)^2$

получаем что $(1)$ превращается в выражение $ -(1-x)^3$, так как $x^2-x=-1$

$(1-x)^3=(1-x)(1-2x+x^2)=(1-x)(-x)$. В итоге $-(1-x)^3=-\frac{1}{x}\cdot{(-x)}=1$
Я не уверен что мой путь решения оптимальный, может есть другие пути , более короткие? или имеется другой подход?

[thething]

Ivan 09 в сообщении #1549392 писал(а):

Также $x^2-x=-1$

С этого момента можно сократить рассуждения: умножьте $x^2=x-1$ на $x$ и докажите, что $x^3=-1$. Ну а там до конца совсем ничего.

[Ivan 09]

thething
Спасибо, разобрался.

[Farest2]

\begin{gather} x+\frac1x=1,\quad x=e^{it}\quad\Rightarrow\quad \cos t=\frac12 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi}{3}, \nonumber\\ x^7+\frac1{x^7}=2\cos 7t=2\cos\frac{7\pi}{3}=1. \nonumber \end{gather}

[Sinoid]

thething в сообщении #1549394 писал(а):

докажите, что $x^3=-1$. Ну а там до конца совсем ничего.

Farest2 в сообщении #1549404 писал(а):

\begin{gather} x+\frac1x=1,\quad x=e^{it}\quad\Rightarrow\quad \cos t=\frac12 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi}{3}, \nonumber\\ x^7+\frac1{x^7}=2\cos 7t=2\cos\frac{7\pi}{3}=1. \nonumber \end{gather}

Тригонометрия, как и ТФКП, здесь вообще ни к чему. Только все усложняют.

[Ivan 09]

Farest2
Sinoid
Спасибо за сообщения.
Этот пример взят с ютуб канала. На нем рассматривается решение, в том числе, и тригонометрическое. Канал на английском, мне сложно уловить детали рассуждений, поэтому я и спрашиваю тут. Мне понадобится время, чтобы подумать о написанном .

[Sinoid]

Ivan 09
ясно.

[Otta]

Sinoid в сообщении #1549408 писал(а):

Тригонометрия, как и ТФКП, здесь вообще ни к чему. Только все усложняют.

Что значит - ни к чему, если $x$, удовлетворяющее исходному условию, не может быть вещественным?

[Markus228]

Sinoid в сообщении #1549408 писал(а):

Тригонометрия, как и ТФКП, здесь вообще ни к чему. Только все усложняют.

Как раз из них ответ получается сразу устно Хотя это наверное читерство, суть задачи именно в изначальной постановке. Интересно, она бы имела смысл, если бы множество корней у первого выражения было бы пустым?

-- 23.02.2022, 07:18 --

Ivan 09
Можно заметить, что $x^n+\frac{1}{x^n}=(x+\frac{1}{x})(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})$

[eugensk]

Markus228
Только $x^n+\frac{1}{x^n}+x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}}=(x+\frac{1}{x})(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})$,
но посчитать до 7-й степени так же просто.

[Markus228]

eugensk
Да, конечно

[nnosipov]

Какой-то заезженный пример. Нет, чтобы предложить найти $x^7-1/x^7$ при условии $x-1/x=1$. И вообще, подумать о том, как искать значение произвольной рациональной функции от $x$, если $x$ --- корень какого-то многочлена.

Sinoid в сообщении #1549408 писал(а):

Только все усложняют.

Иногда, чтобы упростить, нужно сначала усложнить. Вот, кстати, пример такой ситуации. Пусть $p$ --- простое число. Требуется найти $(x^p-1/x^p) \bmod{p}$ при условии $x-1/x=1$. Если здесь "усложнить" (привлечь больше абстракций, чем формально необходимо), то ответ очевиден (и он даже написан).

[Sinoid]

Otta в сообщении #1549429 писал(а):

Sinoid в сообщении #1549408 писал(а):

Тригонометрия, как и ТФКП, здесь вообще ни к чему. Только все усложняют.

Что значит - ни к чему, если $x$, удовлетворяющее исходному условию, не может быть вещественным?

Я имел ввиду, зачем привлекать такую тяжелую и потому менее очевидную вещь как ТФКП, если можно обойтись всего лишь идеями да даже элементами высшей алгебры? С таким подходом к задаче ее может решить немалое количество уже девятиклассников, ИМХО. Мнимые же числа в курсе высшей алгебры и в курсе ТФКП - это несравнимые вещи по глубине изучения.

Не, ну, ежели цель проработать методы ТФКП, тогда понятно, а так...

[Markus228]

nnosipov в сообщении #1549444 писал(а):

Нет, чтобы предложить найти $x^7-1/x^7$ при условии $x-1/x=1$.

29?

-- 24.02.2022, 08:11 --

Sinoid в сообщении #1549482 писал(а):

Я имел ввиду, зачем привлекать такую тяжелую и потому менее очевидную вещь как ТФКП, если можно обойтись всего лишь идеями да даже элементами высшей алгебры?

Тут эти элементы более легкие и очевидные, чем у высшей алгебры

Sinoid в сообщении #1549482 писал(а):

Мнимые же числа в курсе высшей алгебры и в курсе ТФКП - это несравнимые вещи по глубине изучения.

Тут имеется ввиду, что учащиеся знакомы с необходимыми элементами ТФКП, точнее даже не с ее полным арсеналом, а комплексными числами. Я вообще в 8 классе с ними познакомился

Sinoid в сообщении #1549482 писал(а):

Не, ну, ежели цель проработать методы ТФКП, тогда понятно, а так...

Нет, цель просто решить задачу, а элементарно устно она решается именно в ТФКП

[xagiwo]

да не тфкп это