Проблема с изучением линейной алгебры

[EminentVictorians]

В общем, у меня проблема с линейной алгеброй. Я ее читаю по Винбергу (Курс алгебры), но похоже я перегорел и выдохся. Взял перерыв на пару недель, перерыв прошел, а неприятные ощущения никуда не делись. Оно и неудивительно, эта проблема формировалась с самого начала чтения книги, росла как снежный ком и наивно было бы ожидать, что она испарится в закат сама по себе.

Суть проблемы в том, что меня не устраивает сама последовательность изложения линейной алгебры. У меня ощущение, что все перевернуто с ног на голову. Особенно определения. Многие из них мне кажутся абсолютно неестественными и немотивированными.

Взять хотя бы определение кольца. Это набор аксиом. Одной из аксиом является дистрибутивность. Но почему именно она? Почему нигде не написана роль дистрибутивности? Определение кольца должно звучать как-то так: "мы хотим минимальную структуру с 2 операциями сложения и умножения, относительно первой она - абелева группа и эти 2 операции связаны". Далее говорится: "связанными операциями будем считать такие, что одна есть какой-нибудь морфизм относительно другой" или что-то типа того.

Далее векторное пространство. Претензия к определению та же самая - немотивированность. Вот если бы оно звучало как: "векторное пространство - это структура, где существует какой-нибудь естественный гомоморфизм из чего нибудь в группу автоморфизмов того-то или того-то" или как-то в этом духе, то тогда да - такое определение было действительно понятным. Я если что понятия не имею, как это определение сформулировать, но звучать оно должно примерно так.

В общем, я хотел бы найти книгу, в которой линейная алгебра была бы рассказана понятно и четко. Больше категорий, больше групп, меньше всяких частностей. В идеале - линейная алгебра должна вообще оказаться частным случаем какой-нибудь смеси структур. Бурбаки и Кострикин-Манин сразу могу сказать, что не подходят. Там все как обычно вроде бы.

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1549188 писал(а):

В общем, у меня проблема с линейной алгеброй. Я ее читаю по Винбергу (Курс алгебры)

Изучать линейную алгебру по курсу общей алгебры это форма мазохизма.

EminentVictorians в сообщении #1549188 писал(а):

Больше категорий, больше групп, меньше всяких частностей. В идеале - линейная алгебра должна вообще оказаться частным случаем какой-нибудь смеси структур. Бурбаки и Кострикин-Манин сразу могу сказать, что не подходят. Там все как обычно вроде бы.

Так я понимаю, что вас обычный мазохизм не устраивает? Хочется чего нибудь поизвращеннее?!!

[EminentVictorians]

Red_Herring в сообщении #1549191 писал(а):

Изучать линейную алгебру по курсу общей алгебры это форма мазохизма.

Форма мазохизма - это изучать отдельно 2 теории: евклидовых и эрмитовых пространств. Блин ну очевидно же, что у этих двух теорий есть общий контекст. Почему просьба о нем - сразу мазохизм?

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1549188 писал(а):

Взять хотя бы определение кольца. Это набор аксиом. Одной из аксиом является дистрибутивность. Но почему именно она? Почему нигде не написана роль дистрибутивности?

Потому что обычно подразумевается движение не от общего к частному, а от частного к общему. Взяли рациональные числа. Выкинули отношение порядка - получили поле. Выкинули обратные элементы - получили ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. И так далее до произвольного кольца, группы и даже полугруппы. Логика такая: "Рациональные числа нам хорошо знакомы и даже несколько скучны, а вот что интересного появится, если отменить вот это наложенное на них ограничение? А если еще и это?".

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1549195 писал(а):

2 теории: евклидовых и эрмитовых пространств.

А при чем тут кольца? Надо начинать с изучения линейных пространств вещественных или комплексных (и никаких "раскинулось поле по модулю 5"). И лишь потом переходить к пространствам с квадратичной формой. И, кстати, вещественная и комплексная теория не вполне параллельны. А вот алгебры (не кольца!) получаются естественно после изучения линейных операторов.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1549200 писал(а):

Потому что обычно подразумевается движение не от общего к частному, а от частного к общему.

А мне и не нужна общность. Мне нужна понятность. Вот в линейной алгебре всю дорогу изучаются линейные отображения. А почему например не такие: $f(a+b)=f(a)+f(b), f(ka)=k^2f(a)$?. Второе условие можно заменить на $f(ka)=k^mf(a)$ или на $f(ka)=P(k)f(a)$, где P - полином. Гипотетически можно предположить, что это будут целые теории с огромным количеством взаимосвязанных теорем. Но где эти теории для таких отображений? Почему изучаются именно линейные?

Red_Herring в сообщении #1549202 писал(а):

А при чем тут кольца?

Евклидовы и эрмитовы пространства - это просто иллюстрация к тому, что 2 практически идентичные теории рассказываются не как одна. (А то, что есть объемлющая для них теория для меня очевидно)

Кстати, по поводу колец. Это один из способов, каким я пытаюсь для себя обосновать вездесущность линейности. В кольце умножение справа/слева является эндоморфизмом аддитивной группы. Мне кажется линейность берет начало именно оттуда.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1549205 писал(а):

Почему изучаются именно линейные?

Одна из главных причин, может быть, даже самая главная: потому что важнейшие физические законы выражаются линейными дифференциальными уравнениями. Экономисты тоже имеют что сказать по поводу линейности. Да даже дифференцируемость функции - это "линейность в малом". И, кстати, производная и интеграл - линейные операторы. Отцы-основатели линейной алгебры не выдумывали аксиомы с потолка, а пытались решить задачи практики.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1549207 писал(а):

Одна из главных причин, может быть, даже самая главная: потому что важнейшие физические законы выражаются линейными дифференциальными уравнениями.

Это следствие. Вы же вроде бы участвовали в той теме про операторы эволюции динамических систем. Я ее потерял, поэтому не помню, чем там все кончилось, но смысл в том, что часто других законов природы не может быть не потому, что их нет в природе, а потому что их нет логически. Логическая составляющая более базовая, а так Вы просто констатируете факт наличия таких-то и таких законов природы.

-- 20.02.2022, 21:43 --

Anton_Peplov в сообщении #1549207 писал(а):

Да даже дифференцируемость функции - это "линейность в малом". И, кстати, производная и интеграл - линейные операторы.

Вот-вот-вот, да! Оно! Аналогичный вопрос, который меня мучает, но уже из матанализа, а не из лин.алгебры. Почему из всех возможных локальных свойств нас интересует в основном дифференцируемость? Теоретически можно придумать кучу локальных свойств даже до непрерывности, ну там локальную ограниченность хотя бы. Или между непрерывностью и дифференцируемостью. Где они все?

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1549209 писал(а):

Почему из всех возможных локальных свойств нас интересует в основном дифференцируемость?

Потому что производная от координаты по времени - это скорость. Вообще производная от величины по времени - это скорость ее изменения. А скорости изменения нужны всем и везде. Вам, например, когда Вы едете на автомобиле или наполняете чайник.

EminentVictorians в сообщении #1549209 писал(а):

Логическая составляющая более базовая, а так Вы просто констатируете факт наличия таких-то и таких законов природы.

О вопрос, почему наша математика описывает нашу физику и могло ли быть иначе, сломали головы люди поумнее нас с Вами. Поскольку я не могу добавить к этим спорам ничего нетривиального, здесь Шахерезада прекращает дозволенные речи.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1549215 писал(а):

А скорости изменения нужны всем и везде.

Тогда в моде были бы конечные разности, но не факт, что идея рассматривать предельное поведение конечных разностей была бы плодотворна. Я для себя объяснил онтологию дифференцируемости следующим образом.

Логически все начинается не с производной, как обычно принято в большинстве курсов матанализа, а с интеграла. Вообще, понятие интеграла (Римана) гораздо проще понятия производной. Проще в том смысле, что не возникает вопросов относительно идейной составляющей этой математической абстракции. Интеграл олицетворяет собой накопленную величину. Дифференцируемость возникает ровно в том месте, когда мы начинаем "накапливать" непрерывную величину: если подынтегральная функция непрерывна в точке, то интеграл с переменным верхним пределом будет дифференцируем в этой точке и значение производной будет совпадать с значением подынтегральной функции (это теорема Барроу - самая красивая теорема одномерного анализа на мой взгляд). Свойство непрерывности подынтегральной функции очень естественно. Поэтому дифференцируемость не так уж и далеко находится от непрерывности, как кажется. Пока у меня только такое объяснение.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1549188 писал(а):

В общем, у меня проблема с линейной алгеброй... Суть проблемы в том, что меня не устраивает сама последовательность изложения линейной алгебры. У меня ощущение, что все перевернуто с ног на голову. Особенно определения. Многие из них мне кажутся абсолютно неестественными и немотивированными.

У меня бывают такие ощущения. Надо общаться с людьми, которые понимают, со студентами, со старшими, решать и обсуждать задачи, ходить на семинары -- не сразу, но помогает. Научиться чему-то в одиночестве по книжкам сложнее, может быть, и вообще нельзя.

EminentVictorians в сообщении #1549188 писал(а):

Далее векторное пространство. Претензия к определению та же самая - немотивированность.

Возможно, поможет следующее наблюдение: в каждой размерности только одно векторное пространство с точностью до изоморфизма -- $k^n$, "пространство столбцов", всем известное со школы. Абстрактное определение -- это способ его описать, не фиксируя базис.

EminentVictorians в сообщении #1549205 писал(а):

Вот в линейной алгебре всю дорогу изучаются линейные отображения. А почему например не такие: $f(a+b)=f(a)+f(b), f(ka)=k^2f(a)$?

Потому что многие просходящие в природе процессы хорошо описываются гладкими отображениями, а гладкие отображения хорошо приближаются линейными, и это самый простой известный людям способ их приближать.

EminentVictorians в сообщении #1549209 писал(а):

Теоретически можно придумать кучу локальных свойств даже до непрерывности, ну там локальную ограниченность хотя бы. Или между непрерывностью и дифференцируемостью. Где они все?

Они бывают. Но ответ на вопрос "почему", по-моему, должен быть именно тот, который вам уже дали выше и который вас не устраивает: потому что людям удобно таким образом описывать окружающую действительность.

EminentVictorians в сообщении #1549223 писал(а):

Тогда в моде были бы конечные разности

Производные проще.

EminentVictorians в сообщении #1549188 писал(а):

Вот если бы оно звучало как: "векторное пространство - это структура, где существует какой-нибудь естественный гомоморфизм из чего нибудь в группу автоморфизмов того-то или того-то" или как-то в этом духе, то тогда да - такое определение было действительно понятным. Я если что понятия не имею, как это определение сформулировать, но звучать оно должно примерно так

Цитата:

Хозяйством нельзя сказать, чтобы он занимался, он даже никогда не ездил на поля, хозяйство шло как-то само собою. Когда приказчик говорил: "хорошо бы, барин то и то сделать", "да, недурно", отвечал он обыкновенно, куря трубку, которую курить сделал привычку, когда еще служил в армии, где считался скромнейшим, деликатнейшим и образованнейшим офицером: "да, именно недурно", повторял он. Когда приходил к нему мужик и, почесавши рукою затылок, говорил "Барин, позволь отлучиться на работу, подать заработать" "ступай", говорил он, куря трубку, и ему даже в голову не приходило, что мужик шел пьянствовать. Иногда, глядя с крыльца на двор и на пруд, говорил он о том, как бы хорошо было, если бы вдруг от дома провести подземный ход или чрез пруд выстроить каменный мост, на котором бы были по обеим сторонам лавки, и чтобы в них сидели купцы и продавали разные мелкие товары, нужные для крестьян. -- При этом глаза его делались чрезвычайно сладкими и лицо принимало самое довольное выражение, впрочем, все эти прожекты так и оканчивались только одними словами. В его кабинете всегда лежала какая-то книжка, заложенная закладкою на 14 странице, которую он постоянно читал уже два года.

[Евгений Машеров]

Ну, условия линейности это формализация условий "целое равно сумме своих частей" и "от перемены масштаба меняется лишь масштаб". Позволяющих исследовать явления по частям и на моделях. В точности они не выполняются, и взаимодействие частей, и влияние масштаба имеют место, но как первое приближение полезны, отчего и востребована "линейная теория", от которой уже можно идти в сторону нелинейности.
А почему вместо линейной теории не рассмотреть $f(a+b)=f(a)+f(b), f(ka)=k^2f(a)$?
Например, потому, что тут противоречие. $f(a+a)=f(a)+f(a)=2f(a)\ne f(a+a)=f(2a)=4f(a)$ и чем-то надо жертвовать.

[xagiwo]

Slav-27 в сообщении #1549277 писал(а):

Возможно, поможет следующее наблюдение: в каждой размерности только одно векторное пространство с точностью до изоморфизма -- $k^n$, "пространство столбцов", всем известное со школы. Абстрактное определение -- это способ его описать, не фиксируя базис.

Забавно, что ТС уже высказывал похожее мнение (P.S.: похожее отдалённо, но идея видна – уйти в $K^n$)

[EminentVictorians]

Да, я считаю, что требование изоморфности векторного пространства пространству $K^n$ должно быть частью определения самого ВП. Ну с поправкой на бесконечномерный случай. Возможно, при этом останутся только счетномерные ВП. Интересно, несчетномерные ВП сильно нужны в жизни?

Кстати, аналогичная ситуация с евклидовыми пространствами. Задача: сформулировать необходимые и достаточные требования к билинейной форме на конечномерном вещественном векторном пространстве так, чтобы оно было с необходимостью изоморфно пространству $\mathbb R^n$ с каноническим скалярным произведением. Определение: скалярным произведением на произвольном конечномерном вещественном векторном пространстве будем считать билинейную форму, удовлетворяющую условиям из задачи.

[Евгений Машеров]

EminentVictorians в сообщении #1549223 писал(а):

Тогда в моде были бы конечные разности, но не факт, что идея рассматривать предельное поведение конечных разностей была бы плодотворна.

Они и были "в моде". Собственно, когда мы вводим понятие скорости - мы работаем с конечными разностями: "За 2 часа проехали 120 км". И лишь потому, что с конечными разностями работать сложнее, поскольку появляются члены, зависящие от величины шага, возникает желание убрать эту мешающую величину и работать с более простой производной.