В общем, у меня проблема с линейной алгеброй... Суть проблемы в том, что меня не устраивает сама последовательность изложения линейной алгебры. У меня ощущение, что все перевернуто с ног на голову. Особенно определения. Многие из них мне кажутся абсолютно неестественными и немотивированными.
У меня бывают такие ощущения. Надо общаться с людьми, которые понимают, со студентами, со старшими, решать и обсуждать задачи, ходить на семинары -- не сразу, но помогает. Научиться чему-то в одиночестве по книжкам сложнее, может быть, и вообще нельзя.
Далее векторное пространство. Претензия к определению та же самая - немотивированность.
Возможно, поможет следующее наблюдение: в каждой размерности только одно векторное пространство с точностью до изоморфизма --
, "пространство столбцов", всем известное со школы. Абстрактное определение -- это способ его описать, не фиксируя базис.
Вот в линейной алгебре всю дорогу изучаются линейные отображения. А почему например не такие:
?
Потому что многие просходящие в природе процессы хорошо описываются гладкими отображениями, а гладкие отображения хорошо приближаются линейными, и это самый простой известный людям способ их приближать.
Теоретически можно придумать кучу локальных свойств даже до непрерывности, ну там локальную ограниченность хотя бы. Или между непрерывностью и дифференцируемостью. Где они все?
Они бывают. Но ответ на вопрос "почему", по-моему, должен быть именно тот, который вам уже дали выше и который вас не устраивает: потому что людям удобно таким образом описывать окружающую действительность.
Тогда в моде были бы конечные разности
Производные проще.
Вот если бы оно звучало как: "векторное пространство - это структура, где существует какой-нибудь естественный гомоморфизм из чего нибудь в группу автоморфизмов того-то или того-то" или как-то в этом духе, то тогда да - такое определение было действительно понятным. Я если что понятия не имею, как это определение сформулировать, но звучать оно должно примерно так
Цитата:
Хозяйством нельзя сказать, чтобы он занимался, он даже никогда не ездил на поля, хозяйство шло как-то само собою. Когда приказчик говорил: "хорошо бы, барин то и то сделать", "да, недурно", отвечал он обыкновенно, куря трубку, которую курить сделал привычку, когда еще служил в армии, где считался скромнейшим, деликатнейшим и образованнейшим офицером: "да, именно недурно", повторял он. Когда приходил к нему мужик и, почесавши рукою затылок, говорил "Барин, позволь отлучиться на работу, подать заработать" "ступай", говорил он, куря трубку, и ему даже в голову не приходило, что мужик шел пьянствовать. Иногда, глядя с крыльца на двор и на пруд, говорил он о том, как бы хорошо было, если бы вдруг от дома провести подземный ход или чрез пруд выстроить каменный мост, на котором бы были по обеим сторонам лавки, и чтобы в них сидели купцы и продавали разные мелкие товары, нужные для крестьян. -- При этом глаза его делались чрезвычайно сладкими и лицо принимало самое довольное выражение, впрочем, все эти прожекты так и оканчивались только одними словами. В его кабинете всегда лежала какая-то книжка, заложенная закладкою на 14 странице, которую он постоянно читал уже два года.