Пропагатор Клейна Гордона - трудности со знаком

[Pulseofmalstrem]

Добрый день. Хотел бы попросить помощи, чтобы разобраться со следующим вычислением. В квантовой теории поля для поля Клейна-Гордона нужно вычислить следующий коммутатор:

$\left\langle0\right\rvert [\phi(x); \phi(y)]\left\lvert0\right\rangle = D(x-y)-D(y-x) = \int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_\mathbf{p}}(e^{-ip(x-y)}-e^{ip(x-y)}$,

где $E^{2}_{\mathbf{p}} - \mathbf{p}^2 = m^2$, а $p = (E_{\mathbf{p}}, \mathbf{p})$ есть четырехмерный импульс. Мы работаем с метрикой $(+,-,-,-)$.

Я понимаю откуда берется именно такое выражение (как его получить через лестничные операторы), но у меня возникает трудность на следующем шаге. В учебнике говорится, что при $x_0 > y_0$ верно равенство

$\int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_\mathbf{p}}(e^{-ip(x-y)}-e^{ip(x-y)} = \int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2\pi)^3}\int \frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2}e^{-ip(x-y)}$

И вот с этим у меня возникли проблемы. Понятно, что мы хотим воспользоваться теоремой о вычетах, чтобы превратить интеграл по трехмерным импульсам - в интеграл по четырехмерным импульсам. Попробуем проверить логику этого перехода, для чего начнем с правой части.

Поскольку у экспоненты никаких полюсов нет на всей комплексной плоскости за исключением бесконечности, то стало быть все полюса у нас возникают из выражения дроби:

$\frac{-1}{p^2-m^2}=\frac{-1}{(p^0)^2-\mathbf{p}^2-m^2}=\frac{-1}{(p^0)^2-E_{\mathbf{p}}^2}=\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}(\frac{1}{p^0+E_{\mathbf{p}}}-\frac{1}{p^0-E_{\mathbf{p}}})$

Итак, у нас возникают два полюса $p^0=\pm E_{\mathbf{p}}$, вычеты в которых равны соответственно

$e^{-ip(x-y)}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}$ при $p^0=-E_{\mathbf{p}}$ и $-e^{-ip(x-y)}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}$ при $p^0=E_{\mathbf{p}}$.

Поэтому интеграл по $p^0$ при $x_0 > y_0$ можно в комплексной плоскости замкнуть по нижней полуплоскости, и потому он сводится к сумме

$\int \frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2}e^{-ip(x-y)} = e^{-ip(x-y)}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}\right\rvert \limits_{p^0=-E_{\mathbf{p}}}-e^{-ip(x-y)}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}\right\rvert _{p^0=E_{\mathbf{p}}}$

Подстановка этого в исходное равенство дает:

$\int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2\pi)^3}\int \frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2}e^{-ip(x-y)}=\int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\mathbf{p}}}(e^{i(p^0(x^0-y^0)+\mathbf{p}(\mathbf{x}-\mathbf{y}))}-e^{-i(p^0(x^0-y^0)+\mathbf{p}(\mathbf{x}-\mathbf{y}))}$

И у нас возникает проблема с первой экспонентой, где одни плюсы в показателе. Это ну никак не подводится под необходимое произведение $-ip(x-y)=-i(p^0(x^0-y^0)+\mathbf{p}(\mathbf{x}-\mathbf{y}))}$.

Я если честно не понимаю в чем я напортачил.

[Alex-Yu]

Ошибка в обходе полюсов. Если считается причинная функция Грина (пропагатор), то один полюс смещаем чуть вверх, другой -- чуть вниз. А вы оба в одну сторону. У вас запаздывающая функция Грина получилась.