2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 просто простой забавный факт,
Сообщение29.10.2008, 18:36 


10/10/08
53
очень может быть, что известный.

Известно, что вское сжимающее отображение полного метрического пространства имеет неподвижную точку. А если оно не сжимающее, а нерастягиващее, изометрия, например? -- тогда вообще говоря, нет.
Но оказывается, если на само метрическое пространство наложить некоторые геометрические условия, то неподвижную точку будут иметь и нерастягивающие отображения.

Опр. Метричесоке пространство $(M,\rho)$ называетс сжимаемым, если существует непрерывное отображение
$F:[0,1]\times M\to M$ такое, что
1) $F(t,\cdot):M\to M $ -- сжатие при всех $t<1$
2) $F(1,\cdot)=\mathrm{id}_M(\cdot)$

Теорема. Пусть $(K,\rho)$ -- сжимаемое компактное пространство. Тогда всякое нерастягивающее отображение $f:K\to K$ имеет неподвижную точку.

Доказательство этой теоремы я за его тривиальностью писать не буду.

Из этой теоремы следует, например, такой вывод. Рассмотрим на плоскости $x,y$ множесво
$Q=\{x^2+y^2\le 1\}\cup\{x=0,\quad |y|\le 2\}$. Всякое нерастягивающее отображение этогомножества имеет неподвижную точку, но из теоремы, скажем, Брауэра это не следует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:01 


22/12/07
229
Интересный факт. Но, на мой взгляд, Ваше определение сжимаемого пространства можно немного ослабить:

Опр 2. Метрическое пространство $(M,\rho)$ называется сжимаемым', если существует последовательность сжимающих отображений $F_n\colon M\to M$, таких, что для
$\forall x\in M$ имеет место сходимость $F_n(x) \to x$ при $n\to \infty$.

По поводу Вашего примера --- чем не подходит Брауэр? Рассмотрим шар
$B=\{x^2+y^2\le 1\}\subset Q$, к нему Брауэр применим (т.к. нерастягивающее отображение будет непрерывным), ну а раз в $B$ есть неподвижная точка, то и в $Q$ есть...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2008, 15:34 


10/10/08
53
nckg писал(а):
Интересный факт. Но, на мой взгляд, Ваше определение сжимаемого пространства можно немного ослабить:

Опр 2. Метрическое пространство $(M,\rho)$ называется сжимаемым', если существует последовательность сжимающих отображений $F_n\colon M\to M$, таких, что для
$\forall x\in M$ имеет место сходимость $F_n(x) \to x$ при $n\to \infty$.

По поводу Вашего примера --- чем не подходит Брауэр? Рассмотрим шар
$B=\{x^2+y^2\le 1\}\subset Q$, к нему Брауэр применим (т.к. нерастягивающее отображение будет непрерывным), ну а раз в $B$ есть неподвижная точка, то и в $Q$ есть...

но ведь шар не обязан переводиться в себя отображением, это только $Q$ в себя переводится по условию

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2008, 19:07 


22/12/07
229
redhat писал(а):
но ведь шар не обязан переводиться в себя отображением, это только $Q$ в себя переводится по условию

логично. Согласен с Вашим примером.

Тогда получается, что мы отказались от выпуклости $M$ (по сравнению с Брауэром)!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2008, 19:10 


10/10/08
53
nckg писал(а):
redhat писал(а):
но ведь шар не обязан переводиться в себя отображением, это только $Q$ в себя переводится по условию

логично. Согласен с Вашим примером.

Тогда получается, что мы отказались от выпуклости $M$ (по сравнению с Брауэром)!

не от выпуклости , а от гомеоморфности кругу, теорема Брауэра верна для любого множества гомеоморфного шару

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group