просто простой забавный факт,

[redhat]

очень может быть, что известный.

Известно, что вское сжимающее отображение полного метрического пространства имеет неподвижную точку. А если оно не сжимающее, а нерастягиващее, изометрия, например? -- тогда вообще говоря, нет.
Но оказывается, если на само метрическое пространство наложить некоторые геометрические условия, то неподвижную точку будут иметь и нерастягивающие отображения.

Опр. Метричесоке пространство $(M,\rho)$ называетс сжимаемым, если существует непрерывное отображение
$F:[0,1]\times M\to M$ такое, что
1) $F(t,\cdot):M\to M $ -- сжатие при всех $t<1$
2) $F(1,\cdot)=\mathrm{id}_M(\cdot)$

Теорема. Пусть $(K,\rho)$ -- сжимаемое компактное пространство. Тогда всякое нерастягивающее отображение $f:K\to K$ имеет неподвижную точку.

Доказательство этой теоремы я за его тривиальностью писать не буду.

Из этой теоремы следует, например, такой вывод. Рассмотрим на плоскости $x,y$ множесво
$Q=\{x^2+y^2\le 1\}\cup\{x=0,\quad |y|\le 2\}$. Всякое нерастягивающее отображение этогомножества имеет неподвижную точку, но из теоремы, скажем, Брауэра это не следует.

[nckg]

Интересный факт. Но, на мой взгляд, Ваше определение сжимаемого пространства можно немного ослабить:

Опр 2. Метрическое пространство $(M,\rho)$ называется сжимаемым', если существует последовательность сжимающих отображений $F_n\colon M\to M$, таких, что для
$\forall x\in M$ имеет место сходимость $F_n(x) \to x$ при $n\to \infty$.

По поводу Вашего примера --- чем не подходит Брауэр? Рассмотрим шар
$B=\{x^2+y^2\le 1\}\subset Q$, к нему Брауэр применим (т.к. нерастягивающее отображение будет непрерывным), ну а раз в $B$ есть неподвижная точка, то и в $Q$ есть...

[redhat]

nckg писал(а):

Интересный факт. Но, на мой взгляд, Ваше определение сжимаемого пространства можно немного ослабить:

Опр 2. Метрическое пространство $(M,\rho)$ называется сжимаемым', если существует последовательность сжимающих отображений $F_n\colon M\to M$, таких, что для
$\forall x\in M$ имеет место сходимость $F_n(x) \to x$ при $n\to \infty$.

По поводу Вашего примера --- чем не подходит Брауэр? Рассмотрим шар
$B=\{x^2+y^2\le 1\}\subset Q$, к нему Брауэр применим (т.к. нерастягивающее отображение будет непрерывным), ну а раз в $B$ есть неподвижная точка, то и в $Q$ есть...

но ведь шар не обязан переводиться в себя отображением, это только $Q$ в себя переводится по условию

[nckg]

redhat писал(а):

но ведь шар не обязан переводиться в себя отображением, это только $Q$ в себя переводится по условию

логично. Согласен с Вашим примером.

Тогда получается, что мы отказались от выпуклости $M$ (по сравнению с Брауэром)!

[redhat]

nckg писал(а):

redhat писал(а):

но ведь шар не обязан переводиться в себя отображением, это только $Q$ в себя переводится по условию

логично. Согласен с Вашим примером.

Тогда получается, что мы отказались от выпуклости $M$ (по сравнению с Брауэром)!

не от выпуклости , а от гомеоморфности кругу, теорема Брауэра верна для любого множества гомеоморфного шару