Равенство нулю тензора крвизны

[pppppppo_98]

1. Пусть имеется некоторое риманово многообразие $\mathcal{M}$ с обычной связностью Леви-Чивиты и метрикой $\mathsf{g}$. Пусть в некоторой точке $x\in\mathcal{M}$ тензор кривизны $\mathsf{R}$ равен 0. Значит ли что существует область $x\in\mathbf{U}\subset\mathcal{M}$, что метрика внутри области $\mathsf{R}=\mathsf{0}$
2.Тот же вопрос в отношении псевориманово многообразия
3. означает ли что если в области $\mathbf{U}\subset\mathcal{M}$ тензор кривизны $\mathsf{R}=\mathsf{0}$ , означает ли что существует карта $\mathbf{V}\subset\mathbf{U}$, в которой $\mathsf{g}_{ij}= \operatorname{diag}(1,\dots,1)$ (или $\mathsf{g}_{ij}= \operatorname{diag}(1,-1,\dots,-1)$ в псевдоримановом случае)

Если есть ссылки на доказательства соответствующих теорем.

PS

Смальца задумался. Наверное нужно класс гладкости многообраззия задать... Пусть будут аналитичные многообразия

[Slav-27]

1, 2: нет, ничто не мешает ковариантным производным кривизны быть ненулевыми. Контрпример построить несложно, например, придумайте поверхность в 3-мерном пространстве, у которой гауссова кривизна в одной точке нулевая, а в остальных положительная.
3: да, выводится из теоремы Фробениуса об интегрируемости: выберем ортонормированный базис в точке, продолжим до ковариантно постоянных векторных полей в окрестности, они коммутируют из-за симметричности связности (кручение -- это $\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$), из теоремы об интегрируемости выводится, что они касательные к линиям некоторой системы координат.