2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равенство нулю тензора крвизны
Сообщение08.02.2022, 19:35 
1. Пусть имеется некоторое риманово многообразие $\mathcal{M}$ с обычной связностью Леви-Чивиты и метрикой $\mathsf{g}$. Пусть в некоторой точке $x\in\mathcal{M}$ тензор кривизны $\mathsf{R}$ равен 0. Значит ли что существует область $x\in\mathbf{U}\subset\mathcal{M}$, что метрика внутри области $\mathsf{R}=\mathsf{0}$
2.Тот же вопрос в отношении псевориманово многообразия
3. означает ли что если в области $\mathbf{U}\subset\mathcal{M}$ тензор кривизны $\mathsf{R}=\mathsf{0}$ , означает ли что существует карта $\mathbf{V}\subset\mathbf{U}$, в которой $\mathsf{g}_{ij}= \operatorname{diag}(1,\dots,1)$ (или $\mathsf{g}_{ij}= \operatorname{diag}(1,-1,\dots,-1)$ в псевдоримановом случае)

Если есть ссылки на доказательства соответствующих теорем.

PS

Смальца задумался. Наверное нужно класс гладкости многообраззия задать... Пусть будут аналитичные многообразия

 
 
 
 Re: Равенство нулю тензора крвизны
Сообщение09.02.2022, 00:38 
1, 2: нет, ничто не мешает ковариантным производным кривизны быть ненулевыми. Контрпример построить несложно, например, придумайте поверхность в 3-мерном пространстве, у которой гауссова кривизна в одной точке нулевая, а в остальных положительная.
3: да, выводится из теоремы Фробениуса об интегрируемости: выберем ортонормированный базис в точке, продолжим до ковариантно постоянных векторных полей в окрестности, они коммутируют из-за симметричности связности (кручение -- это $\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$), из теоремы об интегрируемости выводится, что они касательные к линиям некоторой системы координат.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group