2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение07.02.2022, 09:28 
Аватара пользователя
Параграф 10.7. Упражнение 2.

Проанализируйте ещё раз доказательство теоремы о неявной функции и дополнений к ней и покажите, что:
...
b) В условиях теоремы $X$ не обязано быть нормированным, а может быть любым топологическим пространством.

А вот интересно, существуют ли студенты 1-2-го курсов, которые решают такие упражнения? Решают ли их преподаватели?

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение07.02.2022, 17:09 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #1548167 писал(а):
А вот интересно, существуют ли студенты 1-2-го курсов, которые решают такие упражнения? Решают ли их преподаватели?

А что тут решать (тем более преподавателям)? Там несколько раз (перед и во время доказательства) делается акцент на неподвижной точке семейства отображений с параметром $x \in X$. В главе про сжимающие отображения необходимое наблюдение есть (устойчивость неподвижной точки для семейств равномерно сжимающих отображений). Обычная задачка на копание в формулах с целью запомнить формальную идею.

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение07.02.2022, 17:46 
Аватара пользователя
demolishka
То, что в этой теореме используются топологические понятия, понятно. Но в этой теореме используются не только топологические понятия. Само понятие дифференциала (производной) использует понятие линейности. Так что пространство должно быть, по-видимому, не "любым топологическим", а по крайней мере топологическим векторным. Произвольное топологическое пространство уж очень произвольным может быть. Настолько произвольным, что ничего содержательного для анализа для него не докажешь. А если использовать анализ в топологических векторных пространствах, то это материал не для первых курсов.

-- Пн фев 07, 2022 18:48:02 --

demolishka в сообщении #1548202 писал(а):
Обычная задачка на копание в формулах

Для произвольного топологического пространства формулу не напишешь.

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение08.02.2022, 09:48 
мат-ламер в сообщении #1548207 писал(а):
Так что пространство должно быть, по-видимому, не "любым топологическим", а по крайней мере топологическим векторным.

Нет. Проанализируйте доказательство. Производная берется по переменной $y$. Также можете посмотреть на соответствующую теорему в Л.Шварц "Анализ", том 1, стр. 294.

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение08.02.2022, 15:57 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #1548257 писал(а):
Нет. Проанализируйте доказательство. Производная берется по переменной $y$.

Я пока с условием справиться не могу. Рассмотрим пример. Поскольку $X$ - может быть любым топологическим пространством, предположим, что это пространство состоит из двух точек - нуля и единицы. Топологию в нём введём антидискретную - пусть открытыми множествами в нём будет пустое множество и само множество $X$ . В качестве множества $Y$ возьмём вещественную прямую, т.е. положим $Y=R$ . Теперь введём функцию $F(x,y)$ следующим образом. Положим $F(0,y)=y$ и $F(1,0)=0$ . Стал проверять условия теоремы и тут засада. В третьем пункте требуется существование и непрерывность производной $F'(x,y)$ в нуле по совокупности переменных. Как её определить в рассматриваемом примере, непонятно. Буду думать.

-- Вт фев 08, 2022 17:34:02 --

Хочу добавить, что третий пункт условия теоремы существенен для её доказательства. И если его отбросить, то элементарно строится контрпример к теореме.

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение08.02.2022, 16:46 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #1548301 писал(а):
производной $F'(x,y)$

производной по y.

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение08.02.2022, 18:39 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1548304 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1548301 писал(а):
производной $F'(x,y)$

производной по y.

Может вы и правы. Только Зорич употребляет обозначение $F'(x,y)$ без всяких пояснений (в 3-м пункте условий). В следующем пункте (4-м) он конкретно пишет про $F'_y(x,y)$ . Тогда я снимаю своё замечание и приношу извинения. Будем считать, что я не разобрался в обозначениях. Меня реально смутило, каким образом можно говорить про $F'(x,y)$ для произвольного топологического пространства $X$ .

Может и такое быть, что у Зорича в этом месте опечатка. Дифференцируемость $F$ по $x$ нужна, когда дополнительно доказывается дифференцируемость неявной функции. Но тут она не доказывается.

-- Вт фев 08, 2022 20:06:35 --

мат-ламер в сообщении #1548314 писал(а):
Может и такое быть, что у Зорича в этом месте опечатка.

Наверное так оно и есть.
мат-ламер в сообщении #1548314 писал(а):
Только Зорич употребляет обозначение $F'(x,y)$ без всяких пояснений (в 3-м пункте условий). В следующем пункте (4-м) он конкретно пишет про $F'_y(x,y)$ .

И в 3-м пункте условий тоже надо писать $F'_y(x,y)$ .

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение08.02.2022, 20:12 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #1548314 писал(а):
Только Зорич употребляет обозначение $F'(x,y)$ без всяких пояснений (в 3-м пункте условий). В следующем пункте (4-м) он конкретно пишет про $F'_y(x,y)$ .

В издании 1984 года в обоих пунктах стоит $F'_{y}$.

 
 
 
 Re: Ошибки в Зориче
Сообщение17.11.2022, 08:05 
мат-ламер в сообщении #1547866 писал(а):
Открыл Зорича в случайном месте. Глава 10. Параграф 3. "Дифференциал отображения" . Задача 4.е. Надо доказать, что некая матрица не является экспонентой никакой другой матрицы.

Утверждение не верно:
$$
  \begin{pmatrix} -1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\exp     \begin{pmatrix} i\pi&0\\-1&i\pi\end{pmatrix}
$$
Возможно, имелось ввиду "никакой вещественной матрицы". Но как об этом догодаться, если в первых пунктах этой задачи рассматриваются экспоненты от операторов $ A\in\mathscr L(\mathbb C^n, \mathbb C^n) $?

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group