Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?

[мат-ламер]

Сначала меня смутила задача 9.а в конце третьей главы учебника Зорича, в которой предлагалось вычислить $\prod\limits_{n=1}^{\infty} (1+x^{2n+1}) $ . Задачу я не решил, а себя успокоил, что в Зориче опечатка. В задаче 3058 в задачнике Демидовича предлагается найти произведение $\prod\limits_{n=0}^{\infty} (1+x^{2n})$ , которое я тоже не вычислил, что насторожило, но не сильно. И тут натолкнулся на две задачи из лекций Теляковского (т.3) по математическому анализу.

Задача 15.10.22. Доказать, что если $|x|<1$ , то $\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2^{k}})=\frac{1}{1-x^2}$.
C этой задачей абсолютно всё понятно. Но меня поставила в тупик

Задача 15.10.23. Доказать, что если $|x|<1$ , то $\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})=\frac{1}{1-x}$.
Эта задача похожа на задачу из Демидовича. Если бы эта задача была бы одна, то я тоже подумал про опечатку. Но тут идут две задачи подряд с небольшой модификацией условия. Может автор что-то имел в виду и я чего-то недопонимаю? Опечатка тут или есть какой-то хитрый способ вычислять такие произведения?

[worm2]

мат-ламер в сообщении #1548173 писал(а):

$\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})=\frac{1}{1-x}$.

Это действительно какая-то чушь, формула неверная.
Если бы $k$ было не от 1, а от 0, и вдобавок было бы, как в предыдущей формуле — не $x^{2k}$, а $x^{2^k}$, тогда бы да.
Ну или если бы $k$ от 1, но в формуле $x^{2^{k-1}}$.
Мне не удаётся найти такого варианта, чтобы опечатка только в одном символе давала верный ответ.

[ShMaxG]

мат-ламер в сообщении #1548173 писал(а):

Доказать, что если $|x|<1$ , то $\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})=\frac{1}{1-x}$.

Это не может быть верным, так как слева стоит четная функция, а справа нет.

[TOTAL]

$\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})=\frac{1}{1-x}$
При $x=-0.5$ левая часть больше единицы, а правая меньше единицы.

[lel0lel]

Пусть произведение равно $f(x)$. Дифференцируем его и получаем диффур, начальное условие $f(0)=1$.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1548173 писал(а):

Задача 15.10.23. Доказать, что если $|x|<1$ , то $\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2k})=\frac{1}{1-x}$.

Если взять произведение первых 200, вот графики в логарифмическом масштабе


-- 07.02.2022, 15:10 --

мат-ламер в сообщении #1548173 писал(а):

Доказать, что если $|x|<1$ , то $\prod\limits_{k=1}^{\infty} (1+x^{2^{k}})=\frac{1}{1-x^2}$.

Это верно, и соответственно верно $\prod\limits_{k=0}^{\infty} (1+x^{2^{k}})=\frac{1}{1-x}$.
(Нижний предел от 0, а не от 1.)

[ShMaxG]

В неких лекциях по вещественному анализу (http://people.math.binghamton.edu/dikran/478/Ch6.pdf) на стр. 319 нашел вот такое выражение:

$$\prod_{n=1}^{\infty}(1+z^n)=\exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{z^n}{1-z^n} \right), \ |z| < 1.$$

[мат-ламер]

Спасибо! Лекции качнул. Там ещё есть 5-я и 7-я глава. Почитаю.

lel0lel в сообщении #1548182 писал(а):

Пусть произведение равно $f(x)$. Дифференцируем его и получаем диффур

А вот этот момент не осилил. Как дифференцируются бесконечные произведения?

[lel0lel]

По формуле Лейбница. Только я проверил и максимум что там получается это экспонента суммы (что уже выписано). А это почти одно и тоже, что экспонента суммы логарифмов. Поэтому что-то новое со вторым произведением не получится.

[Markus228]

(Оффтоп)

Напомнило разложение синуса в бесконечное произведение Эйлера

[novichok2018]

Логарифмируем обе части, потом дифференцируем. Там точно справа снизу минус?

[мат-ламер]

novichok2018 в сообщении #1548287 писал(а):

Там точно справа снизу минус?

Где там? Формулы переписаны точно из упомянутых источников. А что там должно быть на самом деле справа снизу, я не знаю.

novichok2018 в сообщении #1548287 писал(а):

Логарифмируем обе части, потом дифференцируем.

Воспользоваться советом не удалось. Может поподробнее распишете?

[novichok2018]

Мне тоже не удалось воспользоваться своим советом. После логарифмирования и почленного дифференцирования из приведённого тождества следует:

$$ \sum_{k=1}^\infty\frac{kz^{k-1}}{1+z^k}=\sum_{m=1}^\infty \frac{(-z)^{m-1}} {\left(1-z^m\right)^2}. $$

Непонятно, почему это верно, если правильно посчитал.

[xagiwo]

Можно прологарифмировать и разложить в ряд, без дифференцирования.

[novichok2018]

Пытаюсь понять равенство (предполагаемое) двух рядов выше. Второй ряд похож на преобразование Ламберта, но только похож. Просьба кому-то проверить выкладку выше.