Свойство эллипса ("На эллипсе точки A,B, угол AOB прямой..")

[Профессор Снэйп]

На плоскости дан эллипс с центром $O$. На этом эллипсе выбраны точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ --- прямой. Доказать, что значение величины

$$ \frac{1}{|OA|^2} + \frac{1}{|OB|^2} $$

не зависит от выбора точек $A$ и $B$.

Сегодня ехал в маршрутке, а сосед по сиденью --- студент-первокурсник решал эту задачу. Я ему ещё, не разобравшись спросонья, всякой фигни насоветовал Потом уже, под конец поездки, осознав свою оплошность, объяснил ему, что задача решается со всем не так. Подвёл парня

[ИСН]

"У нас в Чешских Будейовицах был аналогичный случай." Как-то раз в химической задаче, которая из всей математики использовала только арифметику, заставил человека решать диффур (кинетика), и ведь почти додавил.
А тут-то что ж. Пишем уравнение эллипса в полярных координатах от центра и всё видим.

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

А тут-то что ж. Пишем уравнение эллипса в полярных координатах от центра и всё видим.

Ну-ка, ну-ка... Продемонстрируйте. Как там будет уравнение эллипса в полярных координатах выглядеть?

[MGM]

Профессор Снэйп писал(а):

На плоскости дан эллипс с центром $O$. На этом эллипсе выбраны точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ --- прямой. Доказать, что значение величины

$$ \frac{1}{|OA|^2} + \frac{1}{|OB|^2} $$

не зависит от выбора точек $A$ и $B$.

Сегодня ехал в маршрутке, а сосед по сиденью --- студент-первокурсник решал эту задачу. Я ему ещё, не разобравшись спросонья, всякой фигни насоветовал Потом уже, под конец поездки, осознав свою оплошность, объяснил ему, что задача решается со всем не так. Подвёл парня

в уравнение эллипса

\[ a\left( {x_1^2 - x_2^2 } \right) = \left( {y_1^2 - y_2^2 } \right) \]

надо подставить условие ортогональности двух векторов

\[ \left( {x_1 ,y_1 } \right) \bot \left( {x_2 ,y_2 } \right) \]

\[ \frac{{x_1^2 }} {{y_1^2 }} = \frac{{y_2^2 }} {{x_2^2 }} \]

Должно получится

[Профессор Снэйп]

MGM писал(а):

Должно получится

Одно дело "должно получиться", а другое "получится". Вы бы сначала попробовали, а потом писали бы наверняка.

Я вот целый час пробовал в уравнение эллипса условие ортогональности подставлять. Скажу Вам честно: нифига не получилось!

[ShMaxG]

В полярных координатах:

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{r_1 ^2 }} = \frac{{\cos ^2 \varphi }} {{a^2 }} + \frac{{\sin ^2 \varphi }} {{b^2 }} \hfill \\ \frac{1} {{r_2 ^2 }} = \frac{{\sin ^2 \varphi }} {{a^2 }} + \frac{{\cos ^2 \varphi }} {{b^2 }} \hfill \\ \frac{1} {{r_1 ^2 }} + \frac{1} {{r_2 ^2 }} = \frac{1} {{a^2 }} + \frac{1} {{b^2 }} \hfill \\ \end{gathered} \]

Где

\[ r_1 ,r_2 \]

- это расстояния от точки О до А и В.

\[ \varphi \]

- это угол между ОА и полярной осью.

Добавлено спустя 34 секунды:

\[ a,b \]

- полуоси эллипса.

[MGM]

Профессор Снэйп писал(а):

MGM писал(а):

Должно получится

Одно дело "должно получиться", а другое "получится". Вы бы сначала попробовали, а потом писали бы наверняка.

Я вот целый час пробовал в уравнение эллипса условие ортогональности подставлять. Скажу Вам честно: нифига не получилось!

Да,действительно, так не получается.
Вот не понятно почему.

[Zai]

Переведем в локальную систему координат
$x'=x\cos\phi+y\sin\phi
$y'=-x\sin\phi+y\cos\phi
уравнение
$\frac {{x'}^2} {a^2}+\frac {{y'}^2} {b^2}=1
Получим
$\frac {{(x\cos\phi+y\sin\phi)}^2} {a^2}+\frac {{(-x\sin\phi+y\cos\phi)}^2} {b^2}=1
Точки $(x_0,0),(0,y_0) будут удовлетворять условию задачи
$\frac {{(x_0\cos\phi)}^2} {a^2}+\frac {{(-x_0\sin\phi})^2} {b^2}=1
$\frac 1 {{x_0}^2}=\frac {\cos^2\phi} {a^2}+\frac {{\sin^2\phi}} {b^2}
$\frac 1 {{y_0}^2}=\frac {\sin^2\phi} {a^2}+\frac {{\cos^2\phi}} {b^2}
Получаем
$\frac 1 {{x_0}^2}+\frac 1 {{y_0}^2} =\frac {1} {a^2}+\frac {{1}} {b^2}

[ShMaxG]

Zai
А можно просто перейти в

\[ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

. Писать меньше.

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #154840 писал(а):

А можно просто перейти в

\[ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

. Писать меньше.

Вы уверены в своем переходе? Ведь тогда параметр \varphi не совпадает с углом, который образует радиус-вектор параметризованной точки с осью ОХ!

[Zai]

Да

\[ \left\{ \begin{gathered} x_1 = r_1\cos \varphi \hfill \\ y_1 = r_1\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

.

\[ \left\{ \begin{gathered} x_2 = r_2\cos (\varphi + \frac {\pi} 2) \hfill \\ y_2 = r_2\sin (\varphi + \frac {\pi} 2) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

.

[ShMaxG]

Zai
Ну так и я это использовал.

[Brukvalub]

Господа, еще раз отмечу, что не все так просто, поскольку такая параметризация эллипса не особо связана с его геометрическим расположением на плоскости.....

[Алексей К.]

$x_1=a\cos t_1,\quad y_1=b\sin t_1,\quad x_2=a\cos t_2,\quad y_2=b\sin t_2$
C учётом условия пенпердикулярности, $x_1 x_2 + y_1 y_2=0$, упрощаем заданное выражение.
Получаем $\dfrac{1}{x_1^2+y_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2+y_2^2}=\ldots=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}$.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Как у Zai.

[ShMaxG]

Brukvalub
Я не понимаю, поясните, пожалуйста.