Метрика, не порожденная нормой

[artempalkin]

Пусть есть линейное пространство с метрикой $(L,\rho)$. Всегда ли можно найти норму, чтобы эта метрика была ей порождена?
Оказывается, не всегда. В википедии приводится пример французской железнодорожной метрики. Там даже доказывается, что она не порождена нормой, но что-то я не понял.
Обозначим норму, с помощью которой определили ФЖМ как $||\cdot||$ (она на самом деле является нормой, изначально заданной на ЛП), а предположительную "норму", которая "породила" ФЖМ обозначим $|\cdot|$. Тогда $|\cdot|$ должна, кроме обычных аксиом нормы, удовлетворять следующим требованиям ("Париж" находится в нуле):

$|x-y|=||x-y||,$ если $x=\lambda y$
$|x-y|=||x||+||y||,$ если $x\neq \lambda y$

То есть обе нормы, реальная и предполагаемая, должны удовлетворять своим аксиомам, да еще и этим двум мощным требованиям согласованности.

Если взять $y=0$, то получится $|x|=||x||$ (что вполне логично: до Парижа-то можно из каждого города доехать напрямую), то есть нормы вообще должны совпадать! Получается, мы имеем дело с мощной нормой $||\cdot||$, которая вообще-то произвольная, но при этом должна удовлетворять условию $||x-y||=||x||+||y||$. Произвольная норма такому условию не удовлетворяет (легко привести контрпример обычного модуля на прямой), а значит противоречие доказывает утверждение.

UPD Контрпример на прямой не подойдет, т.к. на прямой всегда $x=\lambda y$. Тогда придется брать пример с плоскости, например, что длина гипотенузы всегда короче, чем сумма длин катетов.

Просто эти все рассуждения настолько очевидны, что я несколько не понимаю, что такого сложного и непонятного доказывается в Википедии? Какие-то сложные неравенства, которым норма не может удовлетворять. Правильно ли я размышляю?

[novichok2018]

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство параллелограмма. Как то так.

[artempalkin]

novichok2018 в сообщении #1548077 писал(а):

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство параллелограмма. Как то так.

Я думал, это для скалярного произведения, для метрики тоже?
То есть чтобы метрика была порождаема некой нормой, метрика должна удовлетворять тождеству параллелограмма?
Получается, типа, для любых 4 точек?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1548060 писал(а):

но при этом должна удовлетворять условию $||x-y||=||x||+||y||$.

Но только для неколлинеарных $x$, $y$, про коллинеарные мы сказать ничего не можем.

artempalkin в сообщении #1548060 писал(а):

Произвольная норма такому условию не удовлетворяет

В википедии более сильное утверждение: никакая норма этому условию не удовлетворяет.

novichok2018 в сообщении #1548077 писал(а):

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство параллелограмма

Это чтобы норма порождалась скалярным произведением.

artempalkin в сообщении #1548078 писал(а):

То есть чтобы метрика была порождаема некой нормой, метрика должна удовлетворять тождеству параллелограмма?

Нет. Возьмите на плоскости любую норму, не получающуюся из евклидовой линейным преобразованием - например $\|(x, y)\| = |x| + |y|$ - она равенству параллелограмма не удовлетворяет.

[artempalkin]

mihaild
Но ведь моего доказательства достаточно, чтобы показать, что ФЖМ не порождается нормой?

mihaild в сообщении #1548080 писал(а):

В википедии более сильное утверждение: никакая норма этому условию не удовлетворяет.

То есть не найдется такой нормы, что $\forall x,y\ \ x\neq\lambda y\ \ ||x-y||=||x||+||y||$?

mihaild в сообщении #1548080 писал(а):

Нет. Возьмите на плоскости любую норму, не получающуюся из евклидовой линейным преобразованием - например $\|(x, y)\| = |x| + |y|$ - она равенству параллелограмма не удовлетворяет.

Мне тоже кажется, что тождество параллелограмма не при чем. Но все же, а если этой нормой породить метрику, она не будет удовлетворять ТП? Впрочем, я даже не совсем понимаю, что такое ТП для метрики.

[мат-ламер]

Метрика должна быть инвариантна относительно сдвигов.

[novichok2018]

мат-ламер - да это правильно.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1548081 писал(а):

Но ведь моего доказательства достаточно, чтобы показать, что ФЖМ не порождается нормой?

Нет. ФЖМ - это не конкретная метрика, это по метрике для каждой нормы.

artempalkin в сообщении #1548081 писал(а):

То есть не найдется такой нормы, что $\forall x,y\ \ x\neq\lambda y\ \ ||x-y||=||x||+||y||$?

Почти так (еще случай нулевого $y$ надо учесть).

artempalkin в сообщении #1548081 писал(а):

Впрочем, я даже не совсем понимаю, что такое ТП для метрики

Тождество параллелограмма выписывается для нормы. И записанная мной выше $l_1$ норма ему не удовлетворяет.

мат-ламер в сообщении #1548083 писал(а):

Метрика должна быть инвариантна относительно сдвигов

Вообще да, непонятно зачем сыр-бор городить. Возьмем неколлинеарные $a$ и $b$, заметим что для порожденной нормой метрики $\rho(\lambda a + b, \lambda a)$ не зависит от $\lambda$, а для ФЖДМ, порожденной любой нормой, зависит.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1548094 писал(а):

Нет. ФЖМ - это не конкретная метрика, это по метрике для каждой нормы.

А, я понял. Вы имеете в виду, что я не доказал, что ФЖМ вообще никогда не порождается нормой. Ну да, это не было моей целью, я просто хотел убедиться, что бывают метрики, которые не порождаются нормой (и в частном случае ФЖМ, опирающейся, например, на метрику двумерного пространства, ее увидел). До сегодняшнего дня я как бы знал об этом, но конкретных примеров не видел.

-- 05.02.2022, 21:07 --

artempalkin в сообщении #1548101 писал(а):

а для ФЖДМ, порожденной любой нормой, зависит.

Слово "порожденной" тут сильно неудачно, конечно :)

-- 05.02.2022, 21:10 --

mihaild в сообщении #1548094 писал(а):

Вообще да, непонятно зачем сыр-бор городить. Возьмем неколлинеарные $a$ и $b$, заметим что для порожденной нормой метрики $\rho(\lambda a + b, \lambda a)$ не зависит от $\lambda$, а для ФЖДМ, порожденной любой нормой, зависит.

Ну, сыр-бор все равно нужен. А почему вы уверены, например, что такое выражение $||\lambda a+b||+||\lambda a||$ зависит от лямбда для любой нормы? Неочевидно. Мне кажется, доказывать все равно придется то же самое

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1548101 писал(а):

А почему вы уверены, например, что такое выражение $||\lambda a+b||+||\lambda a||$ зависит от лямбда для любой нормы?

Потому что $\|\lambda a\|$ стремится к бесконечности с ростом $\lambda$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1548102 писал(а):

Потому что $\|\lambda a\|$ стремится к бесконечности с ростом $\lambda$.

Да, согласен. Тогда получается, что вне зависимости от исходной нормы, ФЖМ не будет порождаться какой-то нормой (если пространство не одномерное).

Интересно, а вот эта "инвариантность относительно сдвига" будет верна и в общем случае? Нет ли какого-то критерия для "метрики, порожденной нормой", как для "нормы, порожденной СП"?

[Nemiroff]

artempalkin в сообщении #1548104 писал(а):

Нет ли какого-то критерия для "метрики, порожденной нормой", как для "нормы, порожденной СП"?

Есть. Инвариантность к сдвигу и однородность.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1548111 писал(а):

Есть. Инвариантность к сдвигу и однородность.

Я так понимаю, "квазиоднородность", то есть $\rho(\lambda a,\lambda b)=|\lambda| \rho(a,b)$, иначе возникнут проблемы с неотрицательностью метрики.

Если у нас есть метрика, заданная на ЛП, удовлетворяющая условиям:
$\rho(\lambda a+b,\lambda a)=\rho (b,\theta)$ для неколлинеарных $a$ и $b$ и
$\rho(\lambda a,\lambda b)=|\lambda| \rho(a,b)$,

то мы можем задать норму, как $||x||=\rho(\theta,x)$, то по логике это должна быть норма, и она должна породить метрику.
Аксиомы нормы проверяются (нужно отдельно рассматривать коллинеарные и неколлинеарные вектора). Дальше нужно проверить, что она порождает исходную метрику. И это тоже проверяется! В обратную сторону тоже, конечно, все будет хорошо. Да все верно, спасибо!

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1548136 писал(а):

Я так понимаю, "квазиоднородность"

Это обычно называется "абсолютная однородность".

artempalkin в сообщении #1548136 писал(а):

$\rho(\lambda a+b,\lambda a)=\rho (b,\theta)$ для неколлинеарных $a$ и $b$

Зачем ограничение на неколлинеарность?
Просто $\rho(a + b, a + c) = \rho(b, c)$.

[Slav-27]

Например, если функция $g:\mathbb R\to\mathbb R_{>0}$ непрерывна, то метрика $d(x,y)=\left|\int\limits_x^yg(t)dt\right|$ порождена нормой тогда и только тогда, когда $g$ постоянна.