Пусть есть линейное пространство с метрикой

. Всегда ли можно найти норму, чтобы эта метрика была ей порождена?
Оказывается, не всегда. В википедии приводится пример
французской железнодорожной метрики. Там даже доказывается, что она не порождена нормой, но что-то я не понял.
Обозначим норму, с помощью которой определили ФЖМ как

(она на самом деле является нормой, изначально заданной на ЛП), а предположительную "норму", которая "породила" ФЖМ обозначим

. Тогда

должна, кроме обычных аксиом нормы, удовлетворять следующим требованиям ("Париж" находится в нуле):

если


если

То есть обе нормы, реальная и предполагаемая, должны удовлетворять своим аксиомам, да еще и этим двум мощным требованиям согласованности.
Если взять

, то получится

(что вполне логично: до Парижа-то можно из каждого города доехать напрямую), то есть нормы вообще должны совпадать! Получается, мы имеем дело с мощной нормой

, которая вообще-то произвольная, но при этом должна удовлетворять условию

. Произвольная норма такому условию не удовлетворяет (легко привести контрпример обычного модуля на прямой), а значит противоречие доказывает утверждение.
UPD Контрпример на прямой не подойдет, т.к. на прямой всегда

. Тогда придется брать пример с плоскости, например, что длина гипотенузы всегда короче, чем сумма длин катетов.
Просто эти все рассуждения настолько очевидны, что я несколько не понимаю, что такого сложного и непонятного доказывается в Википедии? Какие-то сложные неравенства, которым норма не может удовлетворять. Правильно ли я размышляю?