Система порождающая пространство

[literid]

Здравствуйте
Не получается доказать следующее утверждение:
Показать что система векторов $X_1, \ldots, X_n$ из $\mathbb{R}^n$ тогда и только тогда порождает $\mathbb{R}^n$, когда она линейно независима.
Это упражнение из Кострикина, были введены понятия линейного пространства строк $\mathbb{R}^n$, линейной оболочки, базиса, доказана теорема, что в любой непустой линейной оболочке из $\mathbb{R}^n$ есть базис из $r \leqslant n$ элементов, причем все базисы состоят из $r$ элементов.

Доказательство
Пусть $X_1, \ldots, X_n$ - ЛНЗ, покажем, что $<X_1, \ldots, X_n> = \mathbb{R}^n$.
Поскольку в $\mathbb{R}^n$ есть стандартный базис, то $\dim{\mathbb{R}^n} = n$, то есть размер максимальной ЛНЗ системы равен $n$. $\forall X \in \mathbb{R}^n$ система $X_1, \ldots, X_n, X$ - ЛЗ, а значит $X \in <X_1,\ldots,X_n>$. Тогда ясно, что $\mathbb{R}^n = <X_1, \ldots, X_n>$.
В обратную сторону доказать, не получается. Геометрически понятно, что, например, в $\mathbb{R}^2$ два ЛЗ вектора порождают прямую, а не $\mathbb{R}^2$, но как это записать не знаю.

[artempalkin]

То есть вам нужно доказать, что если система из $n$ векторов порождает $\mathbb{R}^n$, то она линейно независима.

А вы попробуйте от обратного. Предположите, что такая система существует и линейно зависима. Тогда ведь и исходный базис (заведомо линейно независимый) по ней разложится, так ведь?

[literid]

Пусть $\mathbb{R}^n$ порождается системой $X_1, X_2, \ldots, X_n$. Пусть $E_1, E_2, \ldots, E_n$ - стандартный базис. Тогда для любых скаляров $t_i$ из равенства $t_1 E_1 + \ldots + t_n E_n = 0$ следует, что все $t_i = 0$. Если разложить $E_i$ по системе $X_1, \ldots, X_n$, и подставить соотвествующие разложения в равенство получим

$$(a_{11} t_1 + a_{21} t_2 + \ldots + a_{n1} t_n) X_1 + \ldots + (a_{n1} t_1 + \ldots + a_{nn} t_n) X_n = 0$$

.
Равенство возможно лишь в случае $t_i = 0$. Но как я понимаю мы еще не показали что, из равенства любой лин. комб нулю следует ее тривиальность.

[artempalkin]

Да, можно и так. Вы несколько иначе идете (не предполагаете, что система $\{X_k\}$ ЛЗ). Тогда

literid в сообщении #1548070 писал(а):

$$(a_{11} t_1 + a_{21} t_2 + \ldots + a_{n1} t_n) X_1 + \ldots + (a_{n1} t_1 + \ldots + a_{nn} t_n) X_n = 0$$

равно нулю тогда и только тогда, когда все $t_i$ равны нулю. Это означает, что матрица, составленная из $a_{ij}$ должна удовлетворять определенным условиям. А это дает условия на $\{X_k\}$.

literid в сообщении #1548070 писал(а):

Но как я понимаю мы еще не показали что, из равенства любой лин. комб нулю следует ее тривиальность.

Силюсь понять, что означает эта фраза. Вероятно, вы пытаетесь сказать: ЛК базисных векторов равна нулю тогда и только тогда, когда она тривиальна. Если еще не доказывали, то докажите.

[literid]

Значит матрица $a_{ij}$ не вырожденная. Тогда если бы система была ЛЗ и существовали $\lambda_k$ не все нулевые, такие что $\lambda_1 X_1 + \lambda_2 X_2 + \ldots + \lambda_n X_n = 0$, то существовал бы набор $t_i$ (из решения слау с невырожденной матрицей), являющийся решением

literid в сообщении #1548070 писал(а):

$$(a_{11} t_1 + a_{21} t_2 + \ldots + a_{n1} t_n) X_1 + \ldots + (a_{n1} t_1 + \ldots + a_{nn} t_n) X_n = 0$$

в котором не все $t_i = 0$, что приводит к противоречию.

[artempalkin]

literid
Да, все так.
А вообще есть такая базовая теорема, что "если большая (по количеству элементов) система раскладывается через меньшую, то она линейно зависима". В Кострикине эта теорема точно есть. Она доказывается примерно как мы с вами доказали, и тут можно было бы сразу ее использовать. Ведь если $\{X_k\}$ линейно зависимы, то можно несколько из них вычеркнуть, от этого линейная оболочка не изменится.