2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Свойство эллипса ("На эллипсе точки A,B, угол AOB прямой..")
Сообщение31.10.2008, 14:29 
Аватара пользователя
На плоскости дан эллипс с центром $O$. На этом эллипсе выбраны точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ --- прямой. Доказать, что значение величины

$$
\frac{1}{|OA|^2} + \frac{1}{|OB|^2}
$$

не зависит от выбора точек $A$ и $B$.

Сегодня ехал в маршрутке, а сосед по сиденью --- студент-первокурсник решал эту задачу. Я ему ещё, не разобравшись спросонья, всякой фигни насоветовал :oops: Потом уже, под конец поездки, осознав свою оплошность, объяснил ему, что задача решается со всем не так. Подвёл парня :(

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:38 
Аватара пользователя
"У нас в Чешских Будейовицах был аналогичный случай." Как-то раз в химической задаче, которая из всей математики использовала только арифметику, заставил человека решать диффур (кинетика), и ведь почти додавил. :oops:
А тут-то что ж. Пишем уравнение эллипса в полярных координатах от центра и всё видим.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 14:40 
Аватара пользователя
ИСН писал(а):
А тут-то что ж. Пишем уравнение эллипса в полярных координатах от центра и всё видим.


Ну-ка, ну-ка... Продемонстрируйте. Как там будет уравнение эллипса в полярных координатах выглядеть?

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение31.10.2008, 14:54 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
На плоскости дан эллипс с центром $O$. На этом эллипсе выбраны точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ --- прямой. Доказать, что значение величины

$$
\frac{1}{|OA|^2} + \frac{1}{|OB|^2}
$$

не зависит от выбора точек $A$ и $B$.

Сегодня ехал в маршрутке, а сосед по сиденью --- студент-первокурсник решал эту задачу. Я ему ещё, не разобравшись спросонья, всякой фигни насоветовал :oops: Потом уже, под конец поездки, осознав свою оплошность, объяснил ему, что задача решается со всем не так. Подвёл парня :(

в уравнение эллипса
\[
a\left( {x_1^2  - x_2^2 } \right) = \left( {y_1^2  - y_2^2 } \right)
\]

надо подставить условие ортогональности двух векторов\[
\left( {x_1 ,y_1 } \right) \bot \left( {x_2 ,y_2 } \right)
\]

\[
\frac{{x_1^2 }}
{{y_1^2 }} = \frac{{y_2^2 }}
{{x_2^2 }}
\]
Должно получится

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение31.10.2008, 15:01 
Аватара пользователя
MGM писал(а):
Должно получится


Одно дело "должно получиться", а другое "получится". Вы бы сначала попробовали, а потом писали бы наверняка.

Я вот целый час пробовал в уравнение эллипса условие ортогональности подставлять. Скажу Вам честно: нифига не получилось!

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 15:10 
Аватара пользователя
В полярных координатах:

\[
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{r_1 ^2 }} = \frac{{\cos ^2 \varphi }}
{{a^2 }} + \frac{{\sin ^2 \varphi }}
{{b^2 }} \hfill \\
  \frac{1}
{{r_2 ^2 }} = \frac{{\sin ^2 \varphi }}
{{a^2 }} + \frac{{\cos ^2 \varphi }}
{{b^2 }} \hfill \\
  \frac{1}
{{r_1 ^2 }} + \frac{1}
{{r_2 ^2 }} = \frac{1}
{{a^2 }} + \frac{1}
{{b^2 }} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Где \[
r_1 ,r_2 
\] - это расстояния от точки О до А и В. \[
\varphi 
\] - это угол между ОА и полярной осью.

Добавлено спустя 34 секунды:

\[
a,b
\] - полуоси эллипса.

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение31.10.2008, 15:42 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
MGM писал(а):
Должно получится


Одно дело "должно получиться", а другое "получится". Вы бы сначала попробовали, а потом писали бы наверняка.

Я вот целый час пробовал в уравнение эллипса условие ортогональности подставлять. Скажу Вам честно: нифига не получилось!

Да,действительно, так не получается.
Вот не понятно почему.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 16:31 
Аватара пользователя
Переведем в локальную систему координат
$x'=x\cos\phi+y\sin\phi
$y'=-x\sin\phi+y\cos\phi
уравнение
$\frac {{x'}^2} {a^2}+\frac {{y'}^2} {b^2}=1
Получим
$\frac {{(x\cos\phi+y\sin\phi)}^2} {a^2}+\frac {{(-x\sin\phi+y\cos\phi)}^2} {b^2}=1
Точки $(x_0,0),(0,y_0) будут удовлетворять условию задачи
$\frac {{(x_0\cos\phi)}^2} {a^2}+\frac {{(-x_0\sin\phi})^2} {b^2}=1
$\frac 1 {{x_0}^2}=\frac {\cos^2\phi} {a^2}+\frac {{\sin^2\phi}} {b^2}
$\frac 1 {{y_0}^2}=\frac {\sin^2\phi} {a^2}+\frac {{\cos^2\phi}} {b^2}
Получаем
$\frac 1 {{x_0}^2}+\frac 1 {{y_0}^2} =\frac {1} {a^2}+\frac {{1}} {b^2}

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 16:37 
Аватара пользователя
Zai
А можно просто перейти в \[
\left\{ \begin{gathered}
  x = r\cos \varphi  \hfill \\
  y = r\sin \varphi  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]. Писать меньше.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 16:45 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #154840 писал(а):
А можно просто перейти в \[ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \]. Писать меньше.
Вы уверены в своем переходе? Ведь тогда параметр \varphi не совпадает с углом, который образует радиус-вектор параметризованной точки с осью ОХ!

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 16:51 
Аватара пользователя
Да
\[
\left\{ \begin{gathered}
  x_1 = r_1\cos \varphi  \hfill \\
  y_1 = r_1\sin \varphi  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\].
\[
\left\{ \begin{gathered}
  x_2 = r_2\cos (\varphi + \frac {\pi} 2) \hfill \\
  y_2 = r_2\sin (\varphi + \frac {\pi} 2)  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\].

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 16:57 
Аватара пользователя
Zai
Ну так и я это использовал.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 16:59 
Аватара пользователя
Господа, еще раз отмечу, что не все так просто, поскольку такая параметризация эллипса не особо связана с его геометрическим расположением на плоскости.....

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:16 
$x_1=a\cos t_1,\quad y_1=b\sin t_1,\quad x_2=a\cos t_2,\quad y_2=b\sin t_2$
C учётом условия пенпердикулярности, $x_1 x_2 + y_1 y_2=0$, упрощаем заданное выражение.
Получаем $\dfrac{1}{x_1^2+y_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2+y_2^2}=\ldots=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}$.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Как у Zai.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:21 
Аватара пользователя
Brukvalub
Я не понимаю, поясните, пожалуйста.

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group