Ошибки в Зориче

[Padawan]

В учебнике В.А. Зорич Математический анализ, часть 2 (М.:МЦНМО, 2012) на странице 718 (глава XIX, $\S 1$, задачи и упражения) приводится следующее определение:
Пусть $\{\varphi_n(x)\}$ -- асимптотическая последовательность. Если функции $f(x)$, $\psi_0(x),\psi_1(x),\psi_2(x),\ldots $ таковы, что для любого $n=0,1,\ldots$ имеет место равенство

$$ f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\psi_k(x)+o(\varphi_n(x))\;, $$

то пишут

$$f(x)\sim \sum\limits_{n=0}^\infty\psi_n(x),\, \{\varphi_n(x)\}$$

и говорят, что имеется асимптотическое разложение в смысле Эрдейи функции $f$.

Далее приводится задача: покажите, что для заданных $f(x)$, $\{\psi_n(x)\}$ и $\{\varphi_n(x)\}$, разложение

$$f(x)\sim \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\psi_n(x),\, \{\varphi_n(x)\}\; ,$$

где $a_n$ -- числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.

Утверждение не верно. Контрпример: $f(x)=0$, $\{\psi_n(x)=e^{-(n+1)x}\}_{n=0}^\infty$, $$\{\varphi_n(x)=x^{-n}\}_{n=0}^\infty$ при $x\to+\infty$. В качестве $a_n$ подойдут любые числа.

А все почему? Потому что Зорич дал неверное определение асимстотического разложение по Эрдейи, забыв важное условие, что для любого $n$ существует $\overline{\lim\limits_{x\to \infty}} \left|\frac{\psi_n(x)}{\varphi_n(x)\right|}=c_n$, $0<c_n<+\infty$

[Padawan]

Не стал новую тему создавать. Размещу здесь. Вот такую возмутительную халатность увидел в тексте Это картинка из издания 1984 года, но в издании 2012 года тот же текст. Часть II, Глава XIV, $\S$ 1, пункт 2.

[nnosipov]

Произвольная билинейная функция задается матрицей, это медицинский факт. Может, здесь говорится о каком-то подклассе билинейных функций?

-- Ср июн 03, 2020 12:29:19 --

Хотя нет, там слово "каждая". Что за бред?

Upd. Но в специальном базисе действительно достаточно вектора (составленного из коэффициентов при произведениях соответствующих координат).

[Padawan]

Он забыл написать антисимметричная билинейная форма. Дальше он правильно пишет, что векторам в силу этой формулы соответствуют 2-формы.

[nnosipov]

Padawan в сообщении #1466700 писал(а):

антисимметричная

А, вот что. У меня со словом "билинейная" в первую очередь ассоциируется симметричные билинейные функции.

[pogulyat_vyshel]

Безобразие конечно, но покажите мне сколько-нибудь толстую книжку без ляпсусов.

[Padawan]

Часть 2, глава IX, $\S$ 7 Принцип сжимающих отображений. Речь идет о методе Ньютона решения уравнений.

Вообще-то должно быть

$$ |A(x_2)-A(x_1)|=|1-[f'(x_0)]^{-1}\cdot f'(\xi)|\cdot |x_2-x_1| $$

Что делает дальнейший текст просто неверным. Идея же как раз в том, что при $\xi$ и $x_0$, близких к предполагаемому корню, выражение $1-[f'(x_0)]^{-1}\cdot f'(\xi)$ будет близко к нулю.

[мат-ламер]

Задача 9.а в конце третьей главы.
Вычислить: $\prod\limits_{n=1}^{\infty} (1+x^{2n+1}) $ .

Padawan . А как вам вообще Зорич, если отвлечься от ошибок?

[Padawan]

Плохо. Много рукомахательства.

[Nemiroff]

Примеры ошибок понятны. А какие там рукомахательства?

[Padawan]

Открыл том 2 и начал читать. В $\S 2$ Топологическое пространство, Зорич пишет, что топологию на множестве $X$ можно ввести, описав окрестности точек множества $X$. Но каким именно условиям должна удовлетворять система окрестностей, он не формулирует. Что это, если не рукомахательство? Дальше пример 4 -- пространство ростков непрерывных функций на $\mathbb R$. Он определяет, что принимается за окрестность ростка. И пишет: "Приняв множество таких окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим множество ростков непрерывных функций в топологическое пространство". Этот пример невозможно понять непосвященному. Остается поверить в это рукомахательство и читать дальше. Лично у меня такие места вызывают чувство неудовлетворенности, чувствуешь себя обманутым. И я не уверен, что в этом конкретном примере про ростки Зорич все описал правильно. По крайне мере надо подумать.

[Nemiroff]

Это всё второй том. Верно ли, что первый более-менее свободен от таких уж ошибок?

[Gagarin1968]

Nemiroff в сообщении #1547730 писал(а):

Верно ли, что первый более-менее свободен от таких уж ошибок?

Нет, тоже несвободен.
Мой бывший ученик, сейчас аспирант, обратил внимание на них. Их довольно много.
С ходу вспомню пару из них.
Глава 2, там, где приводится доказательство свойств вещественных чисел. Во вспомогательной лемме автор даже не считает нужным доказать, что положительная разность двух натуральных чисел есть число натуральное, а ограничивается замечанием, что это очевидно. А в результате этого доказательство замкнутости множества целых чисел относительно сложения и умножения получилось неполным.
7-я глава, функции многих переменных. Много понятий, используемых в этой главе, просто не вводятся. Предполагается, что они очевидны?
Потом глава, где вводится кратный интеграл. Пара лемм, с помощью которых он вводится, вообще принимаются без доказательств. Опять ссылки на очевидность.
Так что ошибки есть. Но с другой стороны, конечно прав pogulyat_vyshel:

pogulyat_vyshel в сообщении #1474365 писал(а):

но покажите мне сколько-нибудь толстую книжку без ляпсусов

[Sinoid]

Ну, так и нужно, если, с одной стороны, там столько опечаток, а с другой, она все же пользуется спросом, завести специальную тему по опечаткам в этой книге, чтоб в очередной раз замеченная опечатка не влекла за собой новую тему здесь, а ее вначале было бы где попытаться сличить.

[Nemiroff]

Нашёл вот это
post1407844.html