Теорема Больцано-Коши в подполях вещественных чисел

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547623 писал(а):

Она не определена в этой точек, но она же имеет в этой точке устранимый разрыв?

Обычно всё же проверяют наличие разрыва в точке, входящей в область определения (и область определения тоже полагают хорошей, почему собственно она называется "область").

EminentVictorians в сообщении #1547623 писал(а):

А нужна функция, определенная и непрерывная в каждой точке отрезка $\subset K$.

Нет, в каждой точке $\text{отрезка} \cap K$.

Забудем пока про то, что $K$ - это подполе, возьмем например $K = \mathbb R \setminus \{\pi, e, 42\}$. Можете ли вы найти определенную на $K$ непрерывную функцию, для которой на отрезке $[0, 10]$ не выполнена теорема Больцано-Коши?

[Padawan]

Далее $[a,b]=\{x\in\mathbb R\mid a\leqslant x\leqslant b\}$.
Если условие немного модифицировать, и требовать, чтобы искомая функция получалась бы как ограничение на $K\cap [a,b]$ непрерывной функции $f\colon [a,b]\to \mathbb R$, то такое поле $K$ существует.
Утверждение. Существует собственное подполе $K\subset\mathbb R$ такое, что для любых двух чисел $a,b\in K$, $a<b$, и любой непрерывной функции $f\colon [a,b]\to\mathbb R$ такой, что $f(a)<0$, $f(b)>0$ и $f(K\cap [a,b])\subset K$, существует число $c\in K\cap [a,b]$ такое, что $f(c)=0$.

Утверждение неверно, контрпример был ошибочный (я хотел в качестве $K$ взять поле алгоритмически вычислимых действительных чисел). Уважаемый mihaild доказал, что такого поля $K$ не существует (а я понял, где у меня ошибка).

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547624 писал(а):

Нет, в каждой точке $\text{отрезка} \cap K$.

Это просто Вы под словом "отрезок" понимаете подмножество множества вещественных чисел, а я понимаю подмножество $\{x \in K: a \leqslant x \leqslant b \}$ поля $K$, так что в данном случае это одно и то же.

mihaild в сообщении #1547624 писал(а):

Забудем пока про то, что $K$ - это подполе, возьмем например $K = \mathbb R \setminus \{\pi, e, 42\}$. Можете ли вы найти определенную на $K$ непрерывную функцию, для которой на отрезке $[0, 10]$ не выполнена теорема Больцано-Коши?

Тоже терминологические тонкости. Теорема Больцано-Коши выполняется всегда, просто потому что она теорема. Но я могу предъявить непрерывную на некотором множестве (не отрезке! а на множестве $\mathbb{R} \supset [a, b] \backslash \{x\} (x \in [a, b])$) функцию, принимающую на концах значения разных знаков и не имеющую нуля. Но здесь ключевое место, что функция не определена в каждой точке отрезка. А мне нужна функция, которая будет определена в каждой точке отрезка, где отрезок понимается так, как написано выше (ну или, что эквивалентно, $[a, b] \cap K$).

Padawan в сообщении #1547625 писал(а):

Если условие немного модифицировать, и требовать, чтобы искомая функция получалась бы как ограничение на $K\cap [a,b]$ непрерывной функции $f\colon [a,b]\to \mathbb R$, то такое поле $K$ существует.

Это все же уже другое утверждение. Я просто все веду к тому, что теорему Больцано-Коши можно использовать как одну из формулировок свойства полноты $\mathbb{R}$.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547628 писал(а):

Но я могу предъявить непрерывную на некотором множестве (не отрезке! а на множестве $\mathbb{R} \supset [a, b] \backslash \{x\} (x \in [a, b])$)

Я не понимаю, что здесь написано. Напишите, пожалуйста, явно, о каком множестве речь.

EminentVictorians в сообщении #1547628 писал(а):

А мне нужна функция, которая будет определена в каждой точке отрезка

Возвращаемся к сигнуму. Пусть $K = \mathbb R \setminus \{0\}$. Выполнена ли для этого множества теорема Больцано-Вейрештрасса? Т.е. верно ли, что для любого отрезка из $K$ и непрерывной на нём функции, принимающей на концах значения разных знаков, функция принимает на этом отрезке нулевое значение?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547633 писал(а):

Напишите, пожалуйста, явно, о каком множестве речь.

Берем множество $M = [0; 2] \backslash \{1\}$ и рассматриваем сужение на него функции $f(x) = x - 1$. Эта функция непрерывна в каждой точке множества $M$. Но она не является непрерывной на отрезке $[0; 2]$. Далее: она принимает на крайних точках значения противоположных знаков, но нуля у нее нету. Теорему Больцано-Коши использовать нельзя, т.к. функция $f$ не является функцией, определенной на отрезке.

Давайте в случаях двусмысленности говорить "$\mathbb R$-отрезок" для множества $\{x \in \mathbb R: a \leqslant x \leqslant b\}$ ($a, b \in \mathbb R$) и "$\mathbb K$-отрезок" для множества $\{x \in \mathbb K: a \leqslant x \leqslant b\}$ ($a, b \in \mathbb K$).

mihaild в сообщении #1547633 писал(а):

Возвращаемся к сигнуму. Пусть $K = \mathbb R \setminus \{0\}$. Выполнена ли для этого множества теорема Больцано-Вейрештрасса? Т.е. верно ли, что для любого отрезка из $K$ и непрерывной на нём функции, принимающей на концах значения разных знаков, функция принимает на этом отрезке нулевое значение?

Тут двусмысленное место - "отрезка из $K$". Я так понимаю, что имеется в виду любой обычный вещественный отрезок, не содержащий ноль. Но сужение сигнума на любой такой отрезок - константа. Поэтому теорема Больцано-Коши не то чтобы невыполняется, а просто никакое такое сужение не подходит под ее условия (значения на концах разных знаков). Подходило бы под условия - теорема бы выполнялась.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547635 писал(а):

отрезка из $K$

Нет, имелся в виду именно $\mathbb K$-отрезок.

EminentVictorians в сообщении #1547635 писал(а):

Теорему Больцано-Коши использовать нельзя, т.к. функция $f$ не является функцией, определенной на отрезке

Есть свойство (intermediate value property), которое можно сформулировать для произвольного упороядоченного множества $X$: непрерывная функция из отрезка $X$ в $X$ принимает все промежуточные значения. Тогда теорема Больцано-Коши формулируется как "$\mathbb R$ обладает intermediate value property". А ваш вопрос, в свою очередь, переформулируется как "есть ли у вещественных чисел нетривиальное собственное подполе, обладающее intermediate value property". В таких случаях стандартной фигурой речи является принять выражения "для $K$ выполняется теоерма Больцано-Коши" и "$K$ обладает intermediate value property" эквивалентными, хотя, естественно, совсем формально второе смысла не имеет.

[Padawan]

EminentVictorians
Блин, ну что Вам не понятно. Возьмем функцию $f$ отрицательной константой при $x<c$ и положительной константой при $x>c$. Она непрерывна на $K$, а в нуль на $K$ не обращается. Что тут обсуждать?

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1547637 писал(а):

Блин, ну что Вам не понятно. Возьмем функцию $f$ отрицательной константой при $x<c$ и положительной константой при $x>c$. Она непрерывна на $K$, а в нуль на $K$ не обращается. Что тут обсуждать?

Ну да, здесь все понятно. Просто я не очень могу связать это с первоначальной задачей.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1547639 писал(а):

Просто я не очень могу связать это с первоначальной задачей.

Разве первоначальная задача не состояла в том, чтобы привести пример функции из $K$ в $K$, непрерывной на каком-либо отрезке в $K$, принимающей на концах этого отрезка значения разного знака, но нигде не обращающейся в нуль? Ну так вот пример такой функции построен. Это и было первоначальной задачей, разве нет?

[Padawan]

Попробую реабилитироваться.
Пусть $K$ -- поле алгоритмически вычислимых действительных чисел. Непрерывную функцию $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ будем называть вычислимой, если существует алгоритм, который по любому числу $x\in K$ (по его знакам) выдает последовательные знаки числа $f(x)$. Ясно, что тогда $f(x)\in K$ для всех $x\in K$.
Утверждение. Для любых $a,b\in K$, $a<b$, и любой непрерывной вычислимой функции $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ такой, что $f(a)<0$, $f(b)>0$, существует число $c\in K\cap [a,b]$ такое, что $f(c)=0$.

Вообще, область тонкая, легко ошибиться.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1547644 писал(а):

Разве первоначальная задача не состояла в том, чтобы привести пример функции из $K$ в $K$, непрерывной на каком-либо отрезке в $K$, принимающей на концах этого отрезка значения разного знака, но нигде не обращающейся в нуль?

Это очень просто: можно взять $\mathbb{Q}$, любой $\mathbb{Q}$-отрезок и сконструировать нужную функцию. Первоначальная задача заключалась в том, что нечто похожее можно сделать с любым собственным подполем $\mathbb{R}$. И только лишь с $\mathbb{R}$ это сделать нельзя. Иными словами, я хочу доказать, что $\mathbb{R}$-единственное подполе $\mathbb{R}$, удовлетворяющее теореме Больцано-Коши. Т.е. теорему Больцано-Коши можно использовать в качестве одной из формулировок свойства полноты $\mathbb{R}$.

Padawan в сообщении #1547646 писал(а):

и любой непрерывной вычислимой функции $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$

Ну с точки зрения моей задачи функция должна быть из $K$-отрезка в $K$. И непрерывной она должны быть относительно метрики из $K$. Интересно, Ваше утверждение останется справедливым для таких условий?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547648 писал(а):

Первоначальная задача заключалась в том, что нечто похожее можно сделать с любым собственным подполем $\mathbb{R}$.

Так это же делается с любым подполем ровно так же.

EminentVictorians в сообщении #1547648 писал(а):

Ну с точки зрения моей задачи функция должна быть из $K$-отрезка в $K$

Вычислимая функция автоматически имеет образом вычислимые числа.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1547648 писал(а):

Интересно, Ваше утверждение останется справедливым для таких условий?

Похоже не останется.

Вычислимые числа, английская википедия писал(а):

For example, the least upper bound of a bounded increasing computable sequence of computable real numbers need not be a computable real number.

Но это догадка, строго я не доказывал.

mihaild в сообщении #1547649 писал(а):

Так это же делается с любым подполем ровно так же.

Хм.. Не факт же? Для $\mathbb Q$ трюк состоит в том, чтобы найти в качестве нуля функции какой-нибудь $\sqrt{2}$ или ему соизмеримое. Специфическая же штука. Для алгебраических уже другой трюк - с трансцендентными.

mihaild в сообщении #1547649 писал(а):

Вычислимая функция автоматически имеет образом вычислимые числа.

Я не понимаю, в какую сторону Вы намекаете. С одной стороны Вы говорите, что для любого собственного подполя $\mathbb R$ теорема Больцано-Коши не выполняется, с другой стороны - вроде как подтверждаете утверждение Padawan-а для моих условий (из чего будет следовать, что для вычислимых чисел теорема Больцано-Коши выполняется). Я потерял нить.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547650 писал(а):

Для $\mathbb Q$ трюк состоит в том, чтобы найти в качестве нуля функции какой-нибудь $\sqrt{2}$ или ему соизмеримое

Ну у вас же поле несобственное. И для примера с сигнумом никаких свойств элемента, кроме того что он не принадлежит нашему множеству, не требовалось.

EminentVictorians в сообщении #1547650 писал(а):

с другой стороны - вроде как подтверждаете утверждение Padawan-а для моих условий (из чего будет следовать, что для вычислимых чисел теорема Больцано-Коши выполняется)

Выполняется для вычислимых функций, а не для произвольных.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547651 писал(а):

И для примера с сигнумом никаких свойств элемента, кроме того что он не принадлежит нашему множеству, не требовалось.

Я не понимаю этот пример с сигнумом. Там вообще ноль отсутствует. Такого, очевидно, не может быть, т.к. любое подполе содержит ноль (я знаю, что вы в курсе, просто стараюсь писать прозрачно, чтобы уменьшить возможность двойной трактовки). Можете пример с сигнумом более детально объяснить?