Наивные вопросы о мерах и интегралах

[Padawan]

mihaild в сообщении #1547606 писал(а):

Раз вы говорите о $\mu(\cup \Delta)$, то $\cup \Delta$ измеримо.

По-моему это не важно, можно написать и $\mu^*(\cup\Delta)<\varepsilon$. То есть множество $A$ содержится во множестве $\cup\Delta$, внешняя мера которого $<\varepsilon$, значит и $\mu^*(A)<\varepsilon$. Тогда существует последовательность интервалов, которые покрывают $A$ и сумма длин которых $<\varepsilon$ (по определению внешней меры). Мера объединения этих интервалов тем более будет меньше $\varepsilon$.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1547606 писал(а):

А измеримое множество можно сколь угодно точно покрыть интервалами

Здесь я хотел бы проследить логику с начала.
1. Мы начинаем определение меры Лебега с полукольца промежутков (считая промежутками также одноточечные и пустое множество). Для промежутка определена длина. Промежуток можно сколь угодно точно покрыть интервалами.
2. Мы продолжаем меру (длину) на минимальное кольцо $\Gamma$ над полукольцом промежутков. Каждый элемент этого кольца - это объединение конечного числа промежутков, поэтому его тоже можно сколь угодно точно покрыть интервалами.
3. Мы объявляем измеримым по Лебегу множества, которые можно коль угодно точно покрыть элементами кольца $\Gamma$, а тем самым и интервалами.
Так?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1547609 писал(а):

Мы объявляем измеримым по Лебегу множества, которые можно коль угодно точно покрыть элементами кольца $\Gamma$

Вот тут нужно сказать, что значит "сколь угодно точно" - у нас же еще нет меры, чтобы можно было посмотреть на меру разности.
В целом всё так, да.

[Anton_Peplov]

Padawan, спасибо, Вы правы.

mihaild в сообщении #1547792 писал(а):

Вот тут нужно сказать, что значит "сколь угодно точно" - у нас же еще нет меры, чтобы можно было посмотреть на меру разности.

Спасибо. В данном случае под "сколь угодно точно" я имел в виду сколь угодно малую внешнюю меру разности.

Я бы хотел перенести принцип "всякое измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми шарами" с канонической лебеговой меры на прямой на максимально общий случай. Например, у меня сильные подозрения, что это же выполняется для канторовского пространства (подробности под тегом).

(Мера в канторовском пространстве)

Канторовское пространство $\Omega$ - это метрическое пространство всех бесконечных двоичных последовательностей. Расстояние между двумя точками $\omega_1, \omega_2$ вводится так: $\rho(\omega_1, \omega_2) = 2^{-n}$, где $n$ номер первого символа, который различается у последовательностей $\omega_1, \omega_2$. При этом символы нумеруются как элементы массива в программировании: первый символ имеет номер $0$.
Последовательность, которая начинается с двоичного слова $x$, называют продолжением слова $x$ (продолжением пустого слова является любая последовательность). Таким образом, для любого слова $x$ множество всех его продолжений $\Omega_x$ – открытый шар радиусом $2^{-L(x)}$, где $L(x)$ - длина слова $x$. Обратно, всякий открытый шар является множеством всех продолжений некоторого слова $x$ и имеет радиус $2^{-L(x)}$.
Легко видеть, что множество всех открытых шаров канторовского пространства вместе с пустым множеством представляет собой полукольцо. Определим меру открытого шара как его диаметр (который, очевидно, совпадает с радиусом). Продолжим эту меру сначала на минимальное кольцо над полукольцом открытых шаров, а потом по Лебегу. Получим некоторую сигма-алгебру измеримых множеств.
Между канторовским пространством и канторовским совершенным множеством как подпространством $\mathbb R$ существует гомеоморфизм, но не уверен, что изометрия. Во всяком случае, вышеописанная мера, очевидно, не является сужением канонической меры с $\mathbb R$ на канторовское совершенное множество.

Самое широкое обобщение, приходящее в голову, таково. Возьмем произвольное метрическое пространство $X$. Пусть на минимальном кольце $\Gamma$ над множеством всех открытых шаров определена мера $\mu$ такая, что мера открытого шара равна его диаметру. Продолжим эту меру по Лебегу. Верно ли, что всякое измеримое по Лебегу множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми шарами?

Наверняка в такой общности утверждение неверно: метрические пространства слишком разнообразны, чтобы это так просто работало. Есть ли естественные ограничения, которые надо наложить, чтобы утверждение стало верным?