Теорема Больцано-Коши в подполях вещественных чисел

[EminentVictorians]

Вопрос навеян недавней темой Счётное подмножество вещественных чисел.

Существует ли нетривиальное собственное подполе $K \subset \mathbb{R}$ поля действительных чисел такое, что для него выполняется теорема Больцано-Коши? Это значит, что поле $K$ таково, что если в нем выбрать какой-нибудь отрезок и непрерывную функцию на нем, принимающую на концах значения разных знаков, то эта функция непременно примет нулевое значение.

[mihaild]

Если пока рассмотреть в качестве $K$ вместо подполя, например, $\mathbb R \setminus \{1\}$ - то теорема Больцана-Коши будет выполнена?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547572 писал(а):

Если пока рассмотреть в качестве $K$ вместо подполя, например, $\mathbb R \setminus \{1\}$ - то теорема Больцана-Коши будет выполнена?

Кажется понял. Раз $K$ не совпадает с $\mathbb R$, значит есть вещественное число $c$, не принадлежащее $K$. Возьмем какой-нибудь отрезок из $K$, который (будь он отрезком $\mathbb R$) содержал бы $c$. И возьмем какую-нибудь вещественную непрерывную функцию, принимающую на концах этого отрезка числа из $K$ противоположных знаков и которая имеет один ноль в $\mathbb R$ - то самое число $c$. (Здесь надо бы показать, что такая функция существует, но это более-менее очевидно). Рассмотрим ее ограничение на $K$. Вроде бы все удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши, но нуля у этой функции, очевидно, нету.

Конечно, тут все не очень строго. Надо сказать, что $K$ обязательно бесконечно и плотно в $\mathbb R$, что сужение непрерывной на вещественном отрезке функции на плотное в $\mathbb R$ множество само непрерывно и еще желательно бы конкретный пример непрерывной функции построить. Но идея вроде бы правильная?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547574 писал(а):

Здесь надо бы показать, что такая функция существует, но это более-менее очевидно

Это как раз самое интересное. Нам же нужно, чтобы на элементах из $K$ эта функция принимала значения тоже из $K$.

EminentVictorians в сообщении #1547574 писал(а):

Надо сказать, что $K$ обязательно бесконечно и плотно в $\mathbb R$

В любом подполе есть $1$, а значит есть и что?

EminentVictorians в сообщении #1547574 писал(а):

что сужение непрерывной на вещественном отрезке функции на плотное в $\mathbb R$ множество само непрерывно

Это общее свойство для любых топологических пространств.

-- 01.02.2022, 12:08 --

И кстати это всё делать не обязательно. Непрерывная на $K$ функция совершенно не обязана быть сужением на $K$ непрерывной на $\mathbb R$ функции.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547580 писал(а):

В любом подполе есть $1$, а значит есть и что?

А, ну это то я знаю: любое бесконечное поле содержит подполе, изоморфное $\mathbb{Q}$. Учитывая согласованность метрик, получаем и плотность.

mihaild в сообщении #1547580 писал(а):

Это как раз самое интересное. Нам же нужно, чтобы на элементах из $K$ эта функция принимала значения тоже из $K$.

Да, вот об этом я не подумал. Здесь мыслей нету, это для меня уже сложно.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547583 писал(а):

Здесь мыслей нету, это для меня уже сложно.

Какой самый простой пример разрывной функции вы знаете?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547585 писал(а):

Какой самый простой пример разрывной функции вы знаете?

Функцию Дирихле.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547589 писал(а):

Функцию Дирихле

Гораздо проще есть.
Давайте попробуем так: можете ли вы найти функцию $\mathbb R \to \{0, 1\}$, непрерывную вне нуля, и имеющую неустранимый разрыв первого рода в нуле?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547590 писал(а):

Давайте попробуем так: можете ли вы найти функцию $\mathbb R \to \{0, 1\}$, непрерывную вне нуля, и имеющую неустранимый разрыв первого рода в нуле?

Блин, я то думал она везде разрывной должна быть Ну с такой подсказкой сложно ошибиться - Вы о сигнуме говорите. Точнее, о его модуле.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547591 писал(а):

Точнее, о его модуле

У модуля сигнума как раз устранимый разрыв.

Да, сигнум подходит - слева одна константа, справа другая, посередине разрыв. Как из этого теперь изготовить пример для исходной задачи?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547594 писал(а):

Как из этого теперь изготовить пример для исходной задачи?

Не могу догадаться. Нулем функции, который как бы есть, но его нету - должен быть ноль? Просто сигнум же определен в нуле.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547611 писал(а):

Просто сигнум же определен в нуле

А если выкинуть его из области определения? Рассмотрим сигнум на $\mathbb R \setminus 0$ - является ли он непрерывным? Выполнена ли для него теорема Больцано-Коши?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547616 писал(а):

Рассмотрим сигнум на $\mathbb R \setminus 0$ - является ли он непрерывным?

Да, он непрерывен в каждой точке своей области определения.

mihaild в сообщении #1547616 писал(а):

Выполнена ли для него теорема Больцано-Коши?

В обычной теореме Больцано-Коши речь идет о функции, определенной на отрезке. Т.е. если рассмотреть сужение сигнума на отрезок, содержащий ноль, то теорема Больцано-Коши для него не выполняется, просто потому что полученное сужение не определено в каждой точке отрезка. Если взять отрезок, не содержащий ноль, то теорему Больцано-Коши так же нельзя применять, т.к. функция не принимает на концах отрезка значения разных знаков.

UPD. Непрерывность же можно еще в предельных точках рассматривать, я забыл об этом. В нуле сигнум разрывен.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1547617 писал(а):

В нуле сигнум разрывен

В каком еще нуле? Мы рассматриваем сигнум на $\mathbb R \setminus \{0\}$ - в этом множестве нет нуля, определенная нак нём функция не может быть разрывной (или непрерывной) в нуле.

Отлично, пусть у нас теперь есть какое-нибудь множество $K$, плотное в $\mathbb R$, но не совпадающее с ним. Как, аналогично сигнуму на $\mathbb R \setminus \{0\}$, построить на нём непрерывную функцию, для которой не выполняется теорема Больцано-Коши?
(на самом деле плотность не обязательна, достаточно существования трёх точек $a < b < c$ таких что $a, c \in K$, но $b \notin K$)

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1547621 писал(а):

В каком еще нуле? Мы рассматриваем сигнум на $\mathbb R \setminus \{0\}$ - в этом множестве нет нуля, определенная нак нём функция не может быть разрывной (или непрерывной) в нуле.

А, понял. Я просто подзабыл, что свойство непрерывности рассматривается только для точек, входящих в область определения. Просто я представил параболу $x^2$ с выколотой точкой $(1; 1)$. Она не определена в этой точек, но она же имеет в этой точке устранимый разрыв? Я просто не очень помню, говорят ли в таком случае, что функция не является непрерывной в этой точке (т.к. не определена в ней), или говорят, что такой вопрос ставить бессмысленно в виду того, что точка $x = 1$ не входит в область определения.

mihaild в сообщении #1547621 писал(а):

Как, аналогично сигнуму на $\mathbb R \setminus \{0\}$, построить на нём непрерывную функцию, для которой не выполняется теорема Больцано-Коши?

Дак аналогично сигнуму нельзя же. Он не определен в каждой точке отрезка. А нужна функция, определенная и непрерывная в каждой точке отрезка $\subset K$.