Физическая и математическая строгость

[мат-ламер]

Свой вопрос я для начала проиллюстрирую примером. Рассмотрим следующую физическую задачу. У нас есть тело, которое мы тащим по горизонтальной плоскости за верёвку. Причём верёвка перекинута через маленький блок, который находится на некоторой высоте над плоскостью. Верёвку мы понемногу "стравливаем" со скоростью $v$ . То есть расстояние от точки прикрепления верёвки к телу до блока уменьшается со скоростью $v$ . (Размером блока мы пренебрегаем). В какой-то момент времени верёвка образует с плоскостью угол $\alpha$ . С какой скоростью $v_x$ в этот момент времени будет двигаться по горизонтальной плоскости тело? (Предполагаем, что в данный момент времени условия задачи таковы, что тело не отрывается от плоскости).

Задача школьная. Присутствует, например, в сборнике задач по элементарной физике Ащеулова и Барышева (под номером 1). И решается она там совершенно элементарным способом без всяких производных и дифференциалов. Но я стал решать её неким своим способом.

Пусть в наш момент времени расстояние от тела до блока по горизонтали - $x$ , а вдоль верёвки - $s$ , высота блока над плоскостью - $y$ . Тогда мы можем записать равенство $s^2=x^2+y^2$ . Дальше я это равенство продифференцировал и поделил на двойку: $sds=xdx+ydy$ . Дальше я это равенство поделил на $dt$ и получил равенство $sv=xv_x+yv_y$ , где $v_y$ - вертикальная скорость блока относительно плоскости и она равна нулю. Отсюда сразу мы имеем, что $v_x=sv \slash x = v \slash \cos \alpha $ , что совпало с ответом из книги.

Но тут я подумал, а насколько строги и законны эти манипуляции? Ведь дифференциалы, это не конкретные числа. И произвольным образом, как с числами, мы с ними обращаться не можем. При желании можно эти манипуляции оформить строгим образом, например, с использованием о-символики. Но стоит ли вообще этим заниматься? Что-то я не видел в физической литературе использование о-символики. В то же время для решения физических задач дифференциалы зачастую удобней производных. Может вообще не стоит задумываться о строгости при решении такого рода задач, успокаивая себя мыслью, что при желании вычислениям можно придать нужную строгость? Однако, ведь жаль тратить на это ценное время.

[zykov]

Для обозначения производной есть несколько нотаций.
Нотация через дифференциалы - это нотация Лейбница.

В любой из этих нотаций всё строго.
В физике разные нотации используют. Часто нотация Лейбница бывает удобной. В задачах по механике часто нотацию Ньютона используют.

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #1547287 писал(а):

Но тут я подумал, а насколько строги и законны эти манипуляции?

А в каком конкретно месте это не так?

[мат-ламер]

Pphantom в сообщении #1547292 писал(а):

А в каком конкретно месте это не так?

Во-первых, я нигде не говорил, что это не так. Я ни разу не засомневался в корректности результата. Однако у меня возникли сомнения в корректности метода, которым получен этот результат. Ещё точнее, возникли сомнения в корректности оформления метода. А если говорить ещё точнее, то задача для иллюстрации вопроса была выбрана тривиальная. И тут как-бы всё понятно. А вопрос в общем состоит в том, что не наделаю я ошибок в более сложных задачах, свободно оперируя с дифференциалами как с числами?

Конкретно в данном случае я засомневался в момент деления на $dt$ равенства $sds = xdx +ydy$ . Ведь это же не равенство между двумя числами. В этом равенстве скрыто присутствует предельный переход. Деля его на $dt$ мы добавляем ещё один предельный переход.

Уже на первом шаге, который совершенно стандартен (когда мы получили равенство $sds = xdx +ydy$), у меня возник вопрос, а насколько в корректно в учебниках объясняется методы его получения? И все ли студенты понимают, что стоит за этим? Сейчас посмотрю учебники и отпишусь. Лично мне тут всё понятно. Просто заинтересовало разница в изложении этого вопроса в учебниках для математиков и для физиков.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1547293 писал(а):

Конкретно в данном случае я засомневался в момент деления на $dt$ равенства $sds = xdx +ydy$ .

Так продифференцируйте обе стороны $s^2=x^2+y^2$ по $t$.
В нотации Ньютона $2 s \dot s=2 x \dot x+2 y \dot y$.

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #1547293 писал(а):

А вопрос в общем состоит в том, что не наделаю я ошибок в более сложных задачах, свободно оперируя с дифференциалами как с числами?

А в каком месте вы оперируете с дифференциалами как с числами?

мат-ламер в сообщении #1547293 писал(а):

Конкретно в данном случае я засомневался в момент деления на $dt$ равенства $sds = xdx +ydy$ . Ведь это же не равенство между двумя числами. В этом равенстве скрыто присутствует предельный переход. Деля его на $dt$ мы добавляем ещё один предельный переход.

Понятно. Тогда быстренько ищем и читаем определение дифференциала. После чего обнаружится, что дифференциал - это функция, и никаких предельных переходов тут нет.

[мат-ламер]

Наверное я остался непонятым. По той задаче, что я привёл в первом посту, у меня вопросов нет. Мне по ней всё понятно и по ней я вопросов не задавал. Эту задачу я привёл просто для иллюстрации, чтобы были понятны основные вопросы темы. Наверное я привёл слишком простую задачу. Но специально взял самую простую, чтобы не оттолкнуть читателей.

Во-вторых, я нигде не писал, как надо решать эту задачу. Я написал, как я её решал в хронологическом порядке. А в начале решения приходят и глупые мысли. Прошу извинить.

Pphantom в сообщении #1547296 писал(а):

Тогда быстренько ищем и читаем определение дифференциала. После чего обнаружится, что дифференциал - это функция, и никаких предельных переходов тут нет.

Тут я приношу извинения за возможную неточность формулировок. Дело в том, что иногда дифференциалами называются символы типа $dx$ или $dy$ , которые на самом деле могут обозначать аргумент и значение некоторой линейной функции. Обычно в учебниках и эту линейную функцию также называют дифференциалом. Хотя в некоторых книгах эту линейную функцию называют производной. Если я в неладах с общепринятой терминологией, прошу меня поправить.

Pphantom в сообщении #1547296 писал(а):

и никаких предельных переходов тут нет.

мат-ламер в сообщении #1547293 писал(а):

В этом равенстве скрыто присутствует предельный переход.

Всё же, я думаю, что есть разница между выражениями "есть" и "скрыто присутствует". Я имел в виду, что это равенство произошло из некоторого другого равенства путём предельного перехода. Конкретно в данной задаче (как я понимаю, возможно неправильно) мы берём дифференциал (производную) по одному аргументу(ам), затем по другому. И результат не зависит от порядка выполнения этих операций. Хотя это конкретная теорема из анализа и не совсем тривиальная. Тут я рассуждаю и про решение, которое предложил zykov .

Я ещё раз сформулирую свои вопросы. При решении физических задач у непрофессионала (тут я имею в виду себя, я не физик), возникают вопросы о законности некоторых операций. Как правило они легко решаются. Как правило ответы на эти вопросы основываются на некоторых теоремах анализа, которые часто и не совсем тривиальны. Так вот, у меня вопрос, стоит ли тратить время над размышлениями над законностью этих операций или нет?

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #1547305 писал(а):

Я ещё раз сформулирую свои вопросы. При решении физических задач у непрофессионала (тут я имею в виду себя, я не физик), возникают вопросы о законности некоторых операций. Как правило они легко решаются. Как правило ответы на эти вопросы основываются на некоторых теоремах анализа, которые часто и не совсем тривиальны. Так вот, у меня вопрос, стоит ли тратить время над размышлениями над законностью этих операций или нет?

В конечном счете все это сводится к такому утверждению: даже если плохо знать предмет, то иногда можно получить ответ задачи, выполнив некоторый алгоритм, смысл которого выполняющему известен плохо.

Ну да, такое бывает. Ну да, эта ситуация не является нормальной, лучше полноценно изучить предмет. А вот что хочется получить в результате "размышлений", неясно, поскольку в единственно приведенном примере надо не размышлять, а попросту выяснить, что такое дифференциал. Вот этот вот детский лепет:

мат-ламер в сообщении #1547305 писал(а):

Дело в том, что иногда дифференциалами называются символы типа $dx$ или $dy$ , которые на самом деле могут обозначать аргумент и значение некоторой линейной функции. Обычно в учебниках и эту линейную функцию также называют дифференциалом. Хотя в некоторых книгах эту линейную функцию называют производной. Если я в неладах с общепринятой терминологией, прошу меня поправить.

уж простите, иначе не назвать. Размышления о чем-то без знания, что это, ничем полезным не закончатся.

[мат-ламер]

Pphantom в сообщении #1547307 писал(а):

поскольку в единственно приведенном примере надо не размышлять, а попросту выяснить, что такое дифференциал.

В своих постах я дифференциалами называл символы $dx$ , $dy$ , $dz$ . Возможно я отстал от жизни и эти символы сейчас называются по-другому. Прошу поправить, а то неудобно перед форумом.

И отсюда никак не следует, что дифференциалом можно назвать и что-то другое.

мат-ламер в сообщении #1547305 писал(а):

иногда дифференциалами называются символы типа $dx$ или $dy$ , которые на самом деле могут обозначать аргумент и значение некоторой линейной функции. Обычно в учебниках и эту линейную функцию также называют дифференциалом.

А тут что не так? Замечу, что я рассуждаю о терминологии, а не об определении дифференциала. Да, линейную функцию $A$ , которая связывает вышеупомянутые символы формулой $dy=Adx$ называют кое-где дифференциалом, а кое-где производной.

Однако, поскольку просили дать точное определение (видимо, во втором смысле этого слова):

Pphantom в сообщении #1547296 писал(а):

Тогда быстренько ищем и читаем определение дифференциала

Pphantom в сообщении #1547307 писал(а):

поскольку в единственно приведенном примере надо не размышлять, а попросту выяснить, что такое дифференциал.

уж очень сильно заинтересовало, чем определение дифференциала поможет в приведённом примере. Сначала напишу не заглядывая в учебник. Просто, как я это понимаю своими словами. Пусть у нас есть функция $f(x)$ , которая принимает в точке $x^*$ значение $f(x^*)$ . Если в некоторой окрестности точки $x^*$ выполняется равенство $f(x)=f(x^*)+A(x-x^*)+o(x-x^*)$ , где $A$ - некоторая линейная функция, то эту линейную функцию будем называть дифференциалом функции $f(x)$ в точке $x^*$. (Хотя кое-где её называют производной). Смысл о-символики в последнем члене в том, что предел выражения $\left\| o(x-x^*) \right\| \slash \left\| x-x^* \right\|$ стремится к нулю, при $x \to x^*$ .

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1547314 писал(а):

уж очень сильно заинтересовало, чем определение дифференциала поможет в приведённом примере

Ну вот, Вы пишете

мат-ламер в сообщении #1547287 писал(а):

Ведь дифференциалы, это не конкретные числа.

Не конкретные числа, но конкретные функции, с которыми можно делать что хочется.

мат-ламер в сообщении #1547287 писал(а):

Пусть в наш момент времени расстояние от тела до блока по горизонтали - $x$ , а вдоль верёвки - $s$ , высота блока над плоскостью - $y$ . Тогда мы можем записать равенство $s^2=x^2+y^2$ .

Да, здесь $s=s(t)$, $x=x(t)$, $y=y(t)$.

мат-ламер в сообщении #1547287 писал(а):

Дальше я это равенство продифференцировал и поделил на двойку: $sds=xdx+ydy$ .

Да. Здесь $ds$, $dx$, $dy$ - это не просто "символы", а функции, линейные по $\Delta t$: $ds=ds(t,\Delta t)$, $dx=dx(t,\Delta t)$, $dy=dy(t,\Delta t)$.

мат-ламер в сообщении #1547287 писал(а):

Дальше я это равенство поделил на $dt$

Да. Здесь $dt=\Delta t$. И здесь Вы использовали тот факт, что если, например, функцию $ds(t,\Delta t)$ разделить на $\Delta t$, то при любом $\Delta t$ получится одно и то же значение $\frac{ds}{dt}=s^\prime(t)$.

[мат-ламер]

Пока остановился на такой интерпретации задачи с первого поста. Пусть у нас есть гладкое многообразие, которое описывает множество допустимых параметров в задаче (конфигурационное пространство). В нашем случае многообразие задаётся уравнением $s^2=x^2+y^2$ . Можно считать, что это многообразие ещё параметризуется неким параметром $t$ . А можно сразу считать, что многообразие задано в пространстве с размерностью на единицу больше, и мы рассматриваем сечение этого многообразия, фиксируя переменную $t$ .

Выше спрашивали про определение дифференциала. Наверное надо уточнить, а дифференциала чего? Я привёл определение дифференциала функции. И дифференциалом функции будет линейная функция (на это был намёк). В нашем случае наверное можно будет говорить о дифференциале многообразия. И дифференциал его отождествить с касательным пространством. Касательное пространство в конкретной точке $\{s,x,y\}$ задаётся уравнением $sds=xdx+ydy$ . Символы $ds,dx,dy$ можно назвать частными дифференциалами. Можно считать их базисными векторами в касательном пространстве. Если многообразие гладкое, то существование касательного пространства в конкретной точке следует из теоремы о неявной функции. Есть нюанс. В нашем случае все переменные равноправные. В теореме о неявной функции это не так. Но в большинстве точек многообразия мы можем произвольно выбирать зависимые и независимые переменные. Надо заметить, что соотношение между частными дифференциалами не абы какое. Мы не можем, например, записать такую формулу $dx=dy+5$ . Соотношение между частными дифференциалами должно определять линейное подпространство.

Теперь, выполнив первую дифференциальную операцию (найдя дифференциал многообразия), мы можем выполнить и вторую дифференциальную операцию, то есть найти дифференциал получившегося дифференциала по переменной $t$ . Затем мы можем переставить порядок этих дифференциальных операций и написать полученное линейное соотношение уже не в пространстве исходных частных дифференциалов, а в пространстве производных этих дифференциалов по переменной $t$ , то есть в пространстве скоростей: $sdv=xdv_x+ydv_y$ .

[wrest]

"Скрытый предельный переход" тогда уж существует и в понятии "скорость". Ведь скорость это линейная часть приращения величины пройденного пути (ака "первый дифференциал"), и раз мы говорим про скорость, и в задаче спрашивается чему равна её величина, значит полагаем, что искомая скорость, по крайней мере, существует, т.е. зависимость пройденного бруском пути от времени -- функция дифференцируемая везде где может потребоваться. Мне кажется что вот как раз это изначальное знание о существовании первой производной пройденного пути по времени, и подталкивает обзывать символы $dx$ и подобные всякими именами и вольно с ними обращаться -- они все стерпят.

(Оффтоп)

А тут вот прямо в вашей задаче получается что не всегда, оказывается, искомая скорость существует (не существует если угол прямой).