Найти первые две поправки к невозмущённому решению уравнения

[George M]

Найти первые две поправки $\varepsilon$ к невозмущённому решению уравнения $\left(x-1\right)^{3}=\varepsilon x$

Я так полагаю, надо представить наше решение как $x=1+a\varepsilon+b\varepsilon^{2}$ подставить в наше уравнение и подобрать коэффициенты так, чтобы обнулить его. Но я не совсем понимаю принцип отмены коэффициентов, хотя и чувствую, что это очень простая вещь.

Возможно, вы можете мне помочь или дать ссылку на материал, где можно подробно почитать про уравнения с малым параметром

[nnosipov]

George M в сообщении #1547034 писал(а):

Я так полагаю, надо представить наше решение как $x=1+a\varepsilon+b\varepsilon^{2}$ подставить в наше уравнение и подобрать коэффициенты так, чтобы обнулить его.

Нет, здесь так не выйдет, хотя общий подход правильный. Дело в том, что разложений по Тейлору может не хватить, в общем случае будут ряды Пюизо (по дробным степеням $\varepsilon$). В данном случае надо искать разложение в виде $x=1+a\varepsilon^{1/3}+b\varepsilon^{2/3}+\ldots$

Хорошей методической литературы на эту тему я, к сожалению, не знаю.

[Someone]

George M в сообщении #1547034 писал(а):

Я так полагаю, надо представить наше решение как $x=1+a\varepsilon+b\varepsilon^{2}$

Поскольку при $\varepsilon=0$ корень $x=1$ имеет кратность $3$, то разложение в ряд будет не по степеням $\varepsilon$, а по степеням $\varepsilon^{\frac 13}$.

[George M]

У меня получился такой ответ:

$x=1+ \varepsilon^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3} \varepsilon^{\frac{2}{3}}$

Если не составит труда, то, пожалуйста, проверьте его. Надеюсь, что я правильно понял технику решения.

У меня есть ещё один вопрос по похожей задаче, тоже сопряженный с приближенными методами.

Необходимо приближенно решить уравнение и найти первые два его члена приближения:

При $a \gg 1$ и $a \ll 1$

$\ln x=e^{-ax}$

Мне кажется, что следует выполнить вот такой переход:

$x=e^{e^{-ax}}$

И решать методом итераций, либо использовать теорию возмущений, или реверсию рядов, но у меня опять же не хватает математических знаний для их использования и я хотел бы попросить наброски, идеи или литературу, в которой разбираются подобные примеры

Pphantom:

Пожалуйста, аккуратнее относитесь к набору формул. Выше поправлено.

[nnosipov]

George M в сообщении #1547045 писал(а):

У меня получился такой ответ:

$x=1+ \varepsilon^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3} \varepsilon^{\frac{2}{3}}$

Правильно.

[GAA]

George M в сообщении #1547045 писал(а):

$a \ll 1$
$\ln x=e^{-ax}$

Графики левой и правой частей пересекаются на отрезке от 1 до $e$. При $a=0$ корень $x=e$. Выполнив замену $x=e+u$, приходим к поиску решения уравнения $\ln (e+u) = \exp(-a(e+u))$. Раскладываем $F(u, a) = \ln (e+u) - \exp(-a(e+u))$ в точке $u=e$, $a=0$ до второго порядка по каждой переменной и приравниваем нулю. Переносим слагаемое с $u$ в первой степени в другую сторону уравнения и делаем коэффициент при нём равным 1.
Таким образом, получаем уравнение вида $u = c_{10} a + c_{20} a^2 + c_{11}au + c_{02}u^2$.
Подставляем $u = \alpha_1a+ \alpha_2a^2$ в это уравнение правую часть этого уравнения. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $a$, получаем значения для $\alpha_1$ и $\alpha_2$.
Ответ будет иметь вид $x = e + \alpha_1a+\alpha_2a^2$.

Upd Т.е. в отличие от задачи начального сообщения затруднений не возникает.
Upd2

George M в сообщении #1547045 писал(а):

я хотел бы попросить наброски, идеи или литературу, в которой разбираются подобные примеры

Если ТФКП / комплексного анализа не было, то по этой задаче можно посмотреть курсы основ анализа (дифференциального и интегрального исчисления). Например, Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т2, n450 Решение уравнений рядами (djvu).

[novichok2018]

Если эта тема действительно интересна TC, то нужно прочитать, как такие приближения ищутся "по науке", про многоугольник Ньютона и тд.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1547067 писал(а):

про многоугольник Ньютона и тд.

Единственное, что я знаю про эти вещи на русском языке, это Н. Чеботарев, "Многоугольник Ньютона" и его роль в современном развитии математики (1943).

[DeBill]

George M
Посмотрите еще: Брюно "Локальный метод нелинейного анализа"