Регрессия к среднему и ошибка игрока

[sergey zhukov]

ipgmvq
Тогда так. Существует не так просто подсчитываемое число способов, которым один случайный путь может возвратиться в ноль (их явно меньше, чем $2^N$). Совокупность этих способов и есть все наши независимые события (а не пересечения отдельных точек). Этот мой график есть по сути матожидание всех таких способов.

[ipgmvq]

sergey zhukov в сообщении #1546147 писал(а):

Этот мой график есть по сути матожидание всех таких способов

Мне кажется, матожидание можно искать только между взаимоисключающими численными исходами. А достижение нуля на голос $n$ и $m$ вовсе не исключают друг друга. Или Вы ищете матожидание между количествами достигнутых нулей у отдельных траекторий, тогда должен получиться скаляр, а не функция.

sergey zhukov в сообщении #1546147 писал(а):

Существует не так просто подсчитываемое число способов, которым один случайный путь может возвратиться в ноль (их явно меньше, чем $2^N$)

Мы посчитали в постах выше, что это число способов для самого последнего четного голоса является биномиальным коэффициентом, который находится ровно посередине в треугольнице Паскаля на соответствующем удалении от верхушки, и расчитывается по формуле:
$\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}$
где $2n$ — это (чётный) ряд в треугольнице Паскаля, где у самой вершушки номер ряда 0.
Если мы берем не самый последний голос, то мы должны масштабировать получаемое количество, умножив его на $2^{m-k}$, где $m$ — это общее количество голосов, а $k$ — это расчитываемый четный голос. Потому что, чем дальше мы голосуем, тем количество траекторий возрастает в такое количество раз.

[sergey zhukov]

ipgmvq
Я понял. Возьмем все способы, которыми случайный путь длиной 3000 может попасть в ноль (число таких вариантов значит $A=C^{3000}_{1500}$). Пронумеруем эти варианты по порядку $m=0...A$. Теперь можем построить распределение случайной величины $\alpha(m)$ (вероятность реализации $m$-ого способа). Эта случайная величина имеет $A$ значений (т.е. гораздо больше, чем 3000, как было у меня раньше). Вот это распределение дает вероятность реализации любой комбинации попаданиий в ноль.

А что же дает простой подсчет частоты попадания случайного пути в каждую из 3000 нулевых точек? Если бы для каждого пути такая точка была бы только одна, эта кривая была бы плотностью вероятности возврата кривой в ноль на шаге $n=0...3000$. Но т.к. обычно точек возврата в ноль для каждого пути несколько, то эта кривая - не плотность распределения случайной величины, т.к. это такая случайная величина, которая в каждом испытании последовательно принимает несколько своих возможных значений, причем их условные вероятности зависят друг от друга.

У этой кривой (без нормировки) по ординате получаются отложены матожидания числа попаданий случайного пути в данную точку. Т.е. на первом шаге мы из множества равновероятных путей числом $2^{3000}$ получаем множество всех способов, которыми путь может достигнуть нулевых точек (множество $A$) и вероятности этих способов ($\alpha(m)$ $m=0...A$). Теперь сложим вероятности всех способов из множества $A$, которые содержат точку $n=0...3000$. Это и будет вероятность достижения точки $n$. Если же нам нужно вычислить вероятность достижения двух нулевых точек на пути $n_1$ и $n_2$, то мы должны сложить вероятности всех способов из множества $A$, содержащих точки $n_1$ и $n_2$. И т.д.

[sergey zhukov]

Иначе говоря. На моем последнем графике изображена вероятность того, что случайно выбранный путь пройдет через точку $n$.

Если нужно вычислить вероятность того, что случайно выбранный путь пройдет, скажем, через две точки $n_1$ и $n_2$, то она будет меньше суммы соответствующих вероятностей с этого графика (т.к. существует много путей, проходящих одновременно и через $n_1$ и через $n_2$, и такие пути будут учитываться в этой сумме дважды, что и приводит к завышению вероятности).

Поэтому неправильно пытаться, скажем, проинтегрировать этот график с целью найти вероятность того, что случайный путь вернется в ноль на отрезке $n_1...n_2$: полученная вероятность будет больше реальной, т.к. она будет включать множество путей дважды. Так же неправильно будет складывать эти вероятности. И медиану проводить тоже нет смысла.

Вообще, сумма всех вероятностей этого графика больше единицы, т.к. в такую сумму войдут все пути, причем почти все - множество раз. Получится, что вероятность какого-либо возврата пути в ноль гораздо больше, чем 1.

[sergey zhukov]

ipgmvq
Только сейчас понял, что вы говорили:


Если нарисовать случайный путь из начальной точки $A$, проходящий через ноль в точке $B$ сверху вниз (общая длина пути $N$ шагов), то количество путей из $A$ в $B$ ($B$ расположена на шаге $m$) равно числу размещений равного ($\frac{m}{2}$) числа $+1$ и $-1$, т.е. $C^m_\frac{m}{2}$. Из точки $B$ до конца можно дойти $2^{N-m}$ путями. Значит, общее число путей, которые имеют длину $N$ и попадают в ноль на шаге $m$ равно $C^m_\frac{m}{2}2^{N-m}$. Эта кривая приближается функцией $\sim \frac{1}{\sqrt{m}}$ и это и есть то, что получается на моем последнем графике.

-- 17.01.2022, 15:48 --

mihaild в сообщении #1545928 писал(а):

(точно - для $2m$ и $2m + 1$ шагов $\frac{C_{2m}^m \cdot (2m + 1)}{2^{2m}} - 1$).

А как получается эта формула? Тут вероятность оказаться в нуле на шаге $2m$ умножается на число шагов $2m$ и получается матожидание числа нулей на отрезке $0...2m$. Почему?

[mihaild]

sergey zhukov в сообщении #1546281 писал(а):

А как получается эта формула?

По индукции. Как её нормально вывести - не знаю, доказывается расписыванием: ожидание на шаге $2m + 2$ равно сумме ожиданий на шаге $2m$ и вероятности попасть в нуль на $2m+2$-м шаге.