2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Регрессия к среднему и ошибка игрока
Сообщение15.01.2022, 00:06 


17/10/16
3893
ipgmvq
Тогда так. Существует не так просто подсчитываемое число способов, которым один случайный путь может возвратиться в ноль (их явно меньше, чем $2^N$). Совокупность этих способов и есть все наши независимые события (а не пересечения отдельных точек). Этот мой график есть по сути матожидание всех таких способов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Регрессия к среднему и ошибка игрока
Сообщение15.01.2022, 01:16 


27/06/20
337
sergey zhukov в сообщении #1546147 писал(а):
Этот мой график есть по сути матожидание всех таких способов

Мне кажется, матожидание можно искать только между взаимоисключающими численными исходами. А достижение нуля на голос $n$ и $m$ вовсе не исключают друг друга. Или Вы ищете матожидание между количествами достигнутых нулей у отдельных траекторий, тогда должен получиться скаляр, а не функция.

sergey zhukov в сообщении #1546147 писал(а):
Существует не так просто подсчитываемое число способов, которым один случайный путь может возвратиться в ноль (их явно меньше, чем $2^N$)

Мы посчитали в постах выше, что это число способов для самого последнего четного голоса является биномиальным коэффициентом, который находится ровно посередине в треугольнице Паскаля на соответствующем удалении от верхушки, и расчитывается по формуле:
$\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}$
где $2n$ — это (чётный) ряд в треугольнице Паскаля, где у самой вершушки номер ряда 0.
Если мы берем не самый последний голос, то мы должны масштабировать получаемое количество, умножив его на $2^{m-k}$, где $m$ — это общее количество голосов, а $k$ — это расчитываемый четный голос. Потому что, чем дальше мы голосуем, тем количество траекторий возрастает в такое количество раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Регрессия к среднему и ошибка игрока
Сообщение15.01.2022, 14:59 


17/10/16
3893
ipgmvq
Я понял. Возьмем все способы, которыми случайный путь длиной 3000 может попасть в ноль (число таких вариантов значит $A=C^{3000}_{1500}$). Пронумеруем эти варианты по порядку $m=0...A$. Теперь можем построить распределение случайной величины $\alpha(m)$ (вероятность реализации $m$-ого способа). Эта случайная величина имеет $A$ значений (т.е. гораздо больше, чем 3000, как было у меня раньше). Вот это распределение дает вероятность реализации любой комбинации попаданиий в ноль.

А что же дает простой подсчет частоты попадания случайного пути в каждую из 3000 нулевых точек? Если бы для каждого пути такая точка была бы только одна, эта кривая была бы плотностью вероятности возврата кривой в ноль на шаге $n=0...3000$. Но т.к. обычно точек возврата в ноль для каждого пути несколько, то эта кривая - не плотность распределения случайной величины, т.к. это такая случайная величина, которая в каждом испытании последовательно принимает несколько своих возможных значений, причем их условные вероятности зависят друг от друга.

У этой кривой (без нормировки) по ординате получаются отложены матожидания числа попаданий случайного пути в данную точку. Т.е. на первом шаге мы из множества равновероятных путей числом $2^{3000}$ получаем множество всех способов, которыми путь может достигнуть нулевых точек (множество $A$) и вероятности этих способов ($\alpha(m)$ 
   $m=0...A$). Теперь сложим вероятности всех способов из множества $A$, которые содержат точку $n=0...3000$. Это и будет вероятность достижения точки $n$. Если же нам нужно вычислить вероятность достижения двух нулевых точек на пути $n_1$ и $n_2$, то мы должны сложить вероятности всех способов из множества $A$, содержащих точки $n_1$ и $n_2$. И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Регрессия к среднему и ошибка игрока
Сообщение15.01.2022, 19:50 


17/10/16
3893
Иначе говоря. На моем последнем графике изображена вероятность того, что случайно выбранный путь пройдет через точку $n$.

Если нужно вычислить вероятность того, что случайно выбранный путь пройдет, скажем, через две точки $n_1$ и $n_2$, то она будет меньше суммы соответствующих вероятностей с этого графика (т.к. существует много путей, проходящих одновременно и через $n_1$ и через $n_2$, и такие пути будут учитываться в этой сумме дважды, что и приводит к завышению вероятности).

Поэтому неправильно пытаться, скажем, проинтегрировать этот график с целью найти вероятность того, что случайный путь вернется в ноль на отрезке $n_1...n_2$: полученная вероятность будет больше реальной, т.к. она будет включать множество путей дважды. Так же неправильно будет складывать эти вероятности. И медиану проводить тоже нет смысла.

Вообще, сумма всех вероятностей этого графика больше единицы, т.к. в такую сумму войдут все пути, причем почти все - множество раз. Получится, что вероятность какого-либо возврата пути в ноль гораздо больше, чем 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Регрессия к среднему и ошибка игрока
Сообщение17.01.2022, 14:15 


17/10/16
3893
ipgmvq
Только сейчас понял, что вы говорили:
Изображение

Если нарисовать случайный путь из начальной точки $A$, проходящий через ноль в точке $B$ сверху вниз (общая длина пути $N$ шагов), то количество путей из $A$ в $B$ ($B$ расположена на шаге $m$) равно числу размещений равного ($\frac{m}{2}$) числа $+1$ и $-1$, т.е. $C^m_\frac{m}{2}$. Из точки $B$ до конца можно дойти $2^{N-m}$ путями. Значит, общее число путей, которые имеют длину $N$ и попадают в ноль на шаге $m$ равно $C^m_\frac{m}{2}2^{N-m}$. Эта кривая приближается функцией $\sim \frac{1}{\sqrt{m}}$ и это и есть то, что получается на моем последнем графике.

-- 17.01.2022, 15:48 --

mihaild в сообщении #1545928 писал(а):
(точно - для $2m$ и $2m + 1$ шагов $\frac{C_{2m}^m \cdot (2m + 1)}{2^{2m}} - 1$).


А как получается эта формула? Тут вероятность оказаться в нуле на шаге $2m$ умножается на число шагов $2m$ и получается матожидание числа нулей на отрезке $0...2m$. Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Регрессия к среднему и ошибка игрока
Сообщение17.01.2022, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
sergey zhukov в сообщении #1546281 писал(а):
А как получается эта формула?
По индукции. Как её нормально вывести - не знаю, доказывается расписыванием: ожидание на шаге $2m + 2$ равно сумме ожиданий на шаге $2m$ и вероятности попасть в нуль на $2m+2$-м шаге.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group