Тангенс половинного угла.

[novichok2021]

Благодарю Dmitriy40 !!!
Информация к размышлению. Сразу признаюсь решение не моё (мне помогли и благодарность присутствовала с моей стороны).
Вся суть ... (Что бы не вычислять неизвестную координату $y$ точки $E_2$ ниже предложенным способом.
И уже зная координаты центра одной из окружностей применяя тангенс половинного угла как определить неизвестную координату центра второй окружности ?)
Дано:
1. Декартова система координат на плоскости. Точка $T_1(0;0)$ начало координат.
2. Точка $T_2(0;20)$ принадлежащая оси ординат и имеющая степень свободы в положительном направлении.
3. Точка $T_3(30;0)$ принадлежащая оси абсцисс и имеющая степень свободы в положительном направлении.
4. Через эти точки проходит прямая.
5. На координатной плоскости расположены две окружности $R=40$, таким образом что касаются и этой прямой и осей координат.
6. Требуется найти координаты центров каждой из окружностей.

7. Найдём координаты :
Дано $R=DH=40$, так как $DH \perp T_1T_3$ а $DE \perp T_2T_3$; $\angle T_1T_3T_2=\angle HDE$; $\angle T_1=90$ и $\angle H=90$$;

$\triangle T_2T_1T_3 \sim \triangle T_4HD$

$\frac{T_2T_1}{T_1T_3}=\frac{T_4H}{HD}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$;

$\frac{T_4H}{40}=\frac{2}{3}$

$T_4H=\frac{80}{3}$

$\triangle DEK=\triangle DHT_4$, так как они прямоугольные с общим $\angle D$ и катетом $R=40$

тогда $KE=HT_4=\frac{80}{3}$

по теореме Пифагора $KD=\sqrt{40^{2}+\left(\frac{80}{3}\right)^{2}}$

отсюда $KH=KD-R$

$KD=48.074$;

$KH=8.074$

точка $K \in \left(T_2T_3\right)$ подставим координату $y$ точки $K \left( x ; 8.074\right)$

в уравнение прямой $y=-\frac{2}{3}x+20$

$⇒$ $8.074=-\frac{2}{3}x+20$

$⇒$ $\frac{2}{3}x=-8.074+20$

$⇒$ $\frac{2}{3}x=11.926$

$⇒$ $x=11.926 \times \frac{3}{2}$

$x=17.889$

Теперь найдём неизвестную координату другой окружности.





Дано $R=E_2F=40$, так как $E_2F \perp T_2T_1$ а $E_2A \perp T_2T_3$; $\angle T_1T_3T_2=\angle FGE_2$; $\angle T_1=90$ и $\angle F=90$$;

$\triangle T_2T_1T_3 \sim \triangle E_2FG$

$\frac{T_2T_1}{T_1T_3}=\frac{E_2F}{GF}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$;

$\frac{40}{GF}=\frac{2}{3}$

$GF=\frac{120}{2}$

$\triangle E_2AS=\triangle E_2FG$ , так как они прямоугольные с общим $\angle E_2$ и катетом $R=40$

тогда $AS=FG=\frac{120}{2}$

по теореме Пифагора $E_2G=\sqrt{40^{2}+\left(\frac{120}{2}\right)^{2}}$

отсюда $AG=E_2G-R$

$E_2G=72.111$;

$AG=32.111$

точка $S \in \left(T_2T_3\right)$ подставим координату $x$ точки $S \left( 32.111; y\right)$

в уравнение прямой $y=-\frac{2}{3}x+20$

$⇒$ $y=-\frac{2}{3}\times32.111+20$

$y=-1.407$

Вот нам и известны координаты центров обеих из окружностей.
Перемещая точку $T_3$ по оси абсцисс будет изменяться координата $x$ точки $D$ а также координата $y$ точки $E_2$.
Вопрос если произвести вычисление координат точки $D$ выше указанным способом, возможно ли как то посчитать (неизвестную пока, если её не вычислять выше указанным способом) координату точки $E_2$ через тангенс половинного угла ?
Я старался

Кажется вопрос решён ... нужно время что бы переварить информацию.
Благодарю Модераторов и Администраторов за то что "мучали" карантином. Иначе так и не собрался бы, чтобы по аналогии с точкой $D$ найти координату точки $E_2$ (а ведь для когото это и в уме расчитывается )

[Dmitriy40]

Угол из центра окружности к двум точкам касания (прямой и оси координат) равен одному из углов наклона прямой. А биссектриса этого угла проходит через точку пересечения прямой и оси координат. Отсюда легко ищется координата центра окружности (как тангенс половинного угла наклона прямой).

UPD, в связи с изменением чертежа выше, в пункте 6.
Чтобы найти $T_1 H$, зная при этом $D H=R$ и $T_1 T_3$, достаточно знать угол $\angle H D T_3$. А он равен половине угла $\angle T_1 T_3 T_2$ (для данного расположения прямой и окружности). А он определяется из координат точек $T_1,T_2,T_3$. Всё. Доказательства оставляю Вам.

[novichok2021]

Вот здесь хорошо видно как у подобных треугольников изменяются углы

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- несодержательный заголовок,
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»