Помогите вычислить коммутатор для поля Клейна-Гордона

[Pulseofmalstrem]

Добрый день. Столкнулся с трудностью при вычислении коммутатора, который нужен для уравнения Гейзенберга для оператора плотности импульса \pi:

$[\pi(\mathbf{x}, t), H] = [\pi(\mathbf{x}, t), \int d^3 \mathbf{x'}\left\lbrace\right \frac{1}{2} \pi^2 (\mathbf{x'}, t)+ \frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 (\mathbf{x'}, t) + \frac{1}{2}m^2 \phi^2(\mathbf{x'}, t)\rbrace] $

У нас есть стандартные "одномоментные" коммутаторы для поля $\phi$ и плотности импульса $\pi$:

$[\phi (\mathbf{x}), \pi (\mathbf{y})] = i\delta^3 (\mathbf{x} -\mathbf{y})$
и
$[\phi (\mathbf{x}), \phi (\mathbf{y})] = [\pi (\mathbf{x}), \pi (\mathbf{y})] = 0$.

Поскольку в исходном коммутаторе временная координата одинаковая у всех операторов, то проблем с этими выражениями быть не должно. В целом ясно, что первое слагаемое под интегралом дает нуль, поскольку плотности импульса коммутируют между собой. Также последнее слагаемое не вызывает проблем, поскольку для него верно равенство

$[\pi, \phi^2] = \pi \phi \phi - \phi \phi \pi = [\pi, \phi]\phi + \phi [\pi, \phi]$

А коммутаторы в правой части мы знаем, так что здесь всё просто получается. А вот слагаемое с квадратом градиента доставляет трудности (ясно, конечно, что это, наверное, можно было бы вычислить, перейдя к лестичным операторам, но хотелось бы обойтись без этого). Пока мысли движутся в сторону формулы

$(\nabla\phi)^2 = \nabla \cdot (\phi (\nabla \phi) - \phi \nabla^2 \phi = \frac{1}{2} \nabla^2 \phi^2 - \phi \nabla^2 \phi$

Здесь в правой части последнее слагаемое - то что нужно, а вот лапласиан от квадрата поля - это то, что сильно мешает. В книжке советуют посмотреть на такой промежуточный результат

$[\pi(\mathbf{x}, t), H] = [\pi(\mathbf{x}, t), \int d^3 \mathbf{x'}\left\lbrace\right \frac{1}{2} \pi^2 (\mathbf{x'}, t)+ \frac{1}{2}\phi (-\nabla ^2 + m^2)\phi\rbrace] $

Но вот хоть убейте - я не понимаю откуда такое выражение для $H$ вообще взялось (если уравнение Клейна-Гордона для оператора $\phi$ - мы еще только должны получить с помощью вот этого коммутатора и еще одного для поля, который я уже вычислил, с помощью уравнения Гейзенберга для плотности импульса и поля). Я чего-то не понимаю?

[amon]

Pulseofmalstrem в сообщении #1545087 писал(а):

я не понимаю откуда такое выражение для $H$ вообще взялось

От "интегрирования по частям" (теорема Стокса для диф. форм) и пренебрежения поверхностным интегралом по бесконечно удаленной поверхности (убывание $\hpi$ на бесконечности).

[Pulseofmalstrem]

amon
Ой, да-да. Спасибо, а я и забыл подумать об этом... Как говорится один раз при выводе уравнения поля из действия сделали и благополучно забыли про этот трюк. А поверхностный интеграл он возникнет как раз из первого слагаемого с дивергенцией в формуле, которую я уже приводил

$(\nabla\phi)^2 = \nabla \cdot (\phi (\nabla \phi) - \phi \nabla^2 \phi $

Верно?

[amon]

Pulseofmalstrem в сообщении #1545091 писал(а):

А поверхностный интеграл он возникнет как раз из первого слагаемого с дивергенцией

Типа того.