Определения интеграла

[user14284]

Пусть $f:[a,b]\to \mathbb R$. Если есть некоторое конечное разбиение $\{A_i\}$ отрезка $[a,b]$, то будем называть степенчатой функией такую, что на каждом $A_i$ она имеет постоянное значение, а её интегралом будем считать $\sum_i \mu(A_i) f(A_i)$, где $\mu$ -- какая-то мера и все $A_i$ предполагаются измеримыми.

Можно расширить понятие интеграла на более широкий класс функций разными способами:

1. Пусть $\mu$ -- мера Жордана и $f$ является равномерным пределом ступенчатых функций. Определим интеграл от $f$ как предел интегралов от ступенчатых функций.

2. То же, но $\mu$ -- мера Лебега.

3. Пусть $\mu$ -- мера Лебега, определим норму $\|f\|_1:=\int |f|$ для ступенчатых функций. Рассмотрим пополнение ступенчатых функций по этой норме.

Что это за интегралы? Как они связаны с обычными интегралами Римана и Лебега из учебников?

[novichok2018]

2,3 -интеграл Лебега, подход Дюамеля? Что-то похожее учили по спецкурсу Шилова.
Имя перепутал, наверное. Но это один из стандартных подходов к определению интеграла Лебега, в отличии от стандартного позволяет обойти определение меры Лебега.

[novichok2018]

Подход Даниэля, конечно, извините.
Интересная ссылка по теме:
В. И. Бахтин, Введение интеграла Лебега с помощью внешней интегральной
нормы, Тр. Ин-та матем., 2012, том 20, номер 1, 22–32.

(имеется в виду НАН Белоруссии).

[user14284]

А что насчёт 1?

Имеется ли какая-то разница между разбиениями отрезка $[a,b]$ на произвольные подмножества $\{A_i\}$, измеримые по Жордану, и разбиениями на отрезки $a=a_1 < a_2 < ... < a_n=b$?