Как найти точность решения дифференциального уравнения

[alexey007]

Привет, всем!

Не могу понять следующего, помогите разобраться, пожалуйста.

Допустим у меня есть дифференциальное уравнение, например такое: $y''=f(x,y,y')$ И например, точное аналитическое решение $y(x)$ найти не получается. Но, есть приближенное решение $\widetilde{y}(x)$. Как можно посчитать точность этого решения? Есть ли какая нибудь процедура?
Я могу посчитать невязку в каждой точке $N(x)=\widetilde{y''}-f(x,\widetilde{y},\widetilde{y'})$. Но это не совсем точность решения. Мне бы в идеале как-то посчитать или если возможно оценить $\underset{x\in[a,b]}{\max}(|y(x)-\widetilde{y}(x)|)$, где $x\in[a,b]$ область в которой я ищу решение.
Есть метод Ричардсона на основе сгущения сеток, но по нему оценивают точность сеточного решения. Не знаю, может можно как-то по нему оценить точность, хотя там же исходят из погрешности аппроксимации конечными разностями, насколько я понимаю. Подскажите, плиз, может быть кто-то знает как найти точность решения.

[zykov]

Много разных подходов есть. Зависит от того, что это за приближенное решение.
Если приближение на сетке искали, то там же на сетке и точность оценивают.
(В области вычислительной математики такими вещами в огрномных количествах занимаются.)

[alexey007]

zykov в сообщении #1544825 писал(а):

Зависит от того, что это за приближенное решение.

У меня аналитическое приближенное решение в виде обычной формулы

[zykov]

Если ошибка мала, то можно разность линеаризовать и может получится в таком упрощённом виде найти.
Перейти к переменной $e(x)=y(x)-\widetilde{y}(x)$ и по ней линеаризовать (а можно и больше порядков взять, если надо).

[alexey007]

zykov в сообщении #1544830 писал(а):

Если ошибка мала, то можно разность линеаризовать и может получится в таком упрощённом виде найти.

Не очень понятно как это сделать. $f(x,y,y')-f(x,\widetilde{y},\widetilde{y'})=f_y \varepsilon$
Не понимаю как я смогу ошибку выразить, ведь мне не известно $y$

[Black Friday]

На каждом шаге численный метод вносит некоторую погрешность в расчёт. Оценивают её порядок в виде $O({\Delta{x}}^n)$, где $\Delta{x}$ - шаг интегрирования, $n$ - порядок численного метода. В худшем случае погрешности на шагах сложатся.

[alexey007]

Black Friday в сообщении #1544894 писал(а):

На каждом шаге численный метод вносит некоторую погрешность в расчёт.

Согласен. Но у меня нечисленное, а аналитическое приближенное решение. И я хочу как-то найти его отличие от точного решения.

[Pphantom]

alexey007, по-видимому, все достаточно общие рецепты уже высказаны. Опишите конкретную задачу, это будет полезнее.

[zykov]

alexey007 в сообщении #1544892 писал(а):

Не понимаю как я смогу ошибку выразить, ведь мне не известно $y$

$\widetilde{y}(x)$ вам известно. Подставьте вместо $y(x)$ сумму $e(x)+\widetilde{y}(x)$. Полагая что $e(x)$ мало попробуйте найти упрощённое приближение.

[alexey007]

Pphantom в сообщении #1544898 писал(а):

alexey007, по-видимому, все достаточно общие рецепты уже высказаны. Опишите конкретную задачу, это будет полезнее.

Задача может быть любая. Например, дифференциальное уравнение Юнга-Лапласа для формы капли.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Young%E2%80%93Laplace_equation

Точное решение пока никто не нашел. И вот например, если взять приближенное решение в виде эллипса. То как оценить насколько точно описывает эллипс решение уравнения Юнга-Лапласа.
Задача выбрана для примера. Можно для других дифуров подобрать приближенные аналитические решения.Хотелось бы понять как оценивать точность для любых уравнений

[zykov]

alexey007 в сообщении #1544900 писал(а):

И вот например, если взять приближенное решение в виде эллипса

Это наверно будет грубое приближение. Т.е. ошибку нельзя полагать малой.

[Pphantom]

alexey007 в сообщении #1544900 писал(а):

Задача может быть любая. Например, дифференциальное уравнение Юнга-Лапласа для формы капли.

Т.е. речь вообще не об ОДУ, а об ДУЧП? Это тоже стоило бы сообщить - все предыдущие ответы явно предполагали, что речь идет об ОДУ.

А вообще тогда вопрос относится к категории "мечтать не вредно". Хотелось бы, чтобы кто-нибудь из присутствующих смог на него ответить, будет интересный прецедент вручения премии Абеля (как минимум) за сообщение в интернет-форуме.

[alexey007]

Pphantom в сообщении #1544902 писал(а):

alexey007 в сообщении #1544900 писал(а):

Задача может быть любая. Например, дифференциальное уравнение Юнга-Лапласа для формы капли.

Т.е. речь вообще не об ОДУ, а об ДУЧП? Это тоже стоило бы сообщить - все предыдущие ответы явно предполагали, что речь идет об ОДУ.

Речь идёт об ОДУ и вид я в самом начале написал $y''=f(x,y,y')$ уравнение капли при симметрии сводится к ОДУ такого вида как я написал.

-- Вс янв 02, 2022 01:28:35 --

Pphantom в сообщении #1544902 писал(а):

А вообще тогда вопрос относится к категории "мечтать не вредно". Хотелось бы, чтобы кто-нибудь из присутствующих смог на него ответить, будет интересный прецедент вручения премии Абеля (как минимум) за сообщение в интернет-форуме.

Ясно, значит оценить погрешность аналитического приближенного решения ОДУ нельзя.

[Pphantom]

alexey007 в сообщении #1544903 писал(а):

Речь идёт об ОДУ и вид я в самом начале написал $y''=f(x,y,y')$ уравнение капли при симметрии сводится к ОДУ такого вида как я написал.

Ну тогда наиболее общий вариант уже написал zykov.

alexey007 в сообщении #1544903 писал(а):

Ясно, значит оценить погрешность аналитического приближенного решения ОДУ нельзя.

В общем случае - нет. Это, конечно, номинально задача попроще, чем для уравнений в частных производных, но, боюсь, Абелевскую премию и за нее тоже дадут.

[Padawan]

Можно при некоторых условиях. Принцип сжимающих отображений слыхали?