олимпиадное тригонометрическое тождество

[zykov]

Доказать тождество

$$\cos \frac{8\pi}{35} + \cos \frac{12\pi}{35} + \cos \frac{18\pi}{35} = \frac12 \left( \cos \frac{\pi}{5} + \sqrt 7 \sin \frac{\pi}{5} \right)$$

Вобщем-то школьный материал, но мне в своё время понравилось.

[nnosipov]

С точки зрения "взрослой" (не школьной) математики проверка подобных тождеств не представляет затруднений и является чисто механической. Интерес могло бы вызвать обобщение этого тождества, где, например, вместо $\sqrt{7}$ был бы $\sqrt{p}$ с произвольным простым $p$. Неочевидно, что такое обобщение есть, но если оно есть, то это было бы интересно.

[xagiwo]

nnosipov в сообщении #1544617 писал(а):

$\sqrt{p}$ с произвольным простым $p$

Гауссовы суммы? $\zeta = \sqrt[p]{1}$

$$\sum\limits_{x=1}^{p-1}\left(\frac{x}{p}\right) \zeta^x = \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)p}$$

-- 29.12.2021, 15:55 --

Хотя не знаю, в какой мере это считается обобщением :)

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1544630 писал(а):

Гауссовы суммы?

Да, именно они имелись в виду.

[zykov]

Ну я тоже первым делом разложил в многочлены Чебышева и потом уже для многочлена доказал (выкладки в матпакете, т.к. многочлен большой).
Но тут есть недлинное школьное решение. Вот его не сразу нашел. Но было интересно.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1544656 писал(а):

первым делом разложил в многочлены Чебышева

Многочлены Чебышева --- это что-то специфическое. Между тем, с точки зрения компьютерной алгебры мы имеем абсолютно стандартную проблему --- упростить выражение с алгебраическими числами. В данном случае все эти числа лежат в некотором круговом расширении поля рациональных чисел. Следовательно, для проверки тождества достаточно все его ингредиенты записать в каноническом виде, после чего убедиться в тождественном совпадении левой и правой части.

zykov в сообщении #1544656 писал(а):

Но тут есть недлинное школьное решение.

Возможно, но какой в нем смысл? Можно с его помощью обобщить задачу?

[zykov]

Да, можно обобщить.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1544670 писал(а):

Да, можно обобщить.

Ну, так и писали бы это обобщенное тождество. Хоть какой бы интерес был.

[zykov]

В таком виде оно будет подсказку содержать - слишком просто.

PS: Ну и задачу не я же придумал. Насколько знаю, её в таком виде студентам давали (хотя и продвинутый школьник решил бы).
PPS: Ну и опять же, никто не заставляет, если не интересно. Может другой участник голову захочет поломать. Позже, если никто не решит, выложу своё решение.

[novichok2018]

Гауссовы суммы, чтобы через них переписать данный пример - 35 вроде пока не простое число?

[nnosipov]

Во-первых, гауссовы суммы бывают всякие. Во-вторых, гауссовой суммой надо заменить $\sqrt{7}$.

[novichok2018]

правая часть и так как Вы говорите устно считается до числа, если школьникам рассказывают про функции от 18 градусов, что в хороших школах должны.

[TOTAL]

$$\cos \frac{8\pi}{35} + \cos \frac{12\pi}{35} + \cos \frac{18\pi}{35} - \frac12 \cos \frac{7\pi}{35}= \frac12 \sqrt 7 \sin \frac{7\pi}{35} \right)$$

После возведения обеих частей в квадрат вопрос сводится к очевидному равенству

$$\cos \frac{4\pi}{35} + \cos \frac{6\pi}{35} + \cos \frac{14\pi}{35}+\cos \frac{16\pi}{35} + \cos \frac{24\pi}{35} + \cos \frac{26\pi}{35}+ \cos \frac{34\pi}{35}=0$$

Правда, по пути ещё нужна пара очевидных типа

$$\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7}=\frac12$$

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1544739 писал(а):

так как Вы говорите устно считается

Нет, в данном случае не устно: я выше говорил о компьютерной алгебре.

[zykov]

Кто-то ещё решает задачу? Или решение написать?