В каком-то виде задачу решили.
Напишу решение, которое имелось ввиду, доступное школьнику.
Шаг 1: отделить углы кратные
и кратные
.Преобразуем дроби

,

и

.
Можно просто подобрать, учитывая малость величин.
Можно по теории Диофантовых уравнений найти.
(Оффтоп)
Сначала решим

.
По модулю

будет

.
По малой теореме Ферма будет

. Значит

, т.е.

. Значит

.
Тогда

. Получаем

.
Отсюда получаем:



(Здесь мы уменьшали величину коэффициентов добавляя решение однородного уравнения

.)
Далее, разложим косинусы в левой части как суммы/разности косинусов.
Получим:

Осталось показать, что


Отсюда кстати сразу видно, что угол

особой роли не играет. Мог бы быть любой угол

. Но в таком виде решение было бы почти очевидно.
Чтобы завуалировать решение, угол

должен быть дробью от

.
С одной стороны правая часть в таком виде намекает на решение, на то что надо отделить углы. Если бы дали только левую часть и попросили представить её в радикалах, то было бы немного сложнее. С другой стороны эта правая часть может вводить в заблуждение - можно было бы подумать, что сначала её надо выразить в радикалах и тогда будет проще. Но как видно, это была бы лишняя работа, т.к. угол

тут роли не играет.
Шаг 2: показать что сумма косинусов равна
.Вобщем это известная вещь. Продвинутый школьник должен был бы знать.
Возьмём 7 единичных векторов равномерно распределённых по направлениям. (Вообще тут можно взять любое нечётное количество.)
А именно, вектора с углами

.
Сумма этих векторов равна нулевому вектору, что очевидно из симметрии при повороте на угол

. Кроме того эта система векторов симметрична относительно оси

.
Отсюда сразу получаем

.
Аналогично для 3 векторов можно получить

.
Для 5 векторов можно получить

. Здесь, если использовать

и использовать формулу косинуса двойного угла, то можно получить квадратное уравнение для

.
Для 9 векторов можно получить

. Т.е.

или

. (Последнее можно школьнику подкинуть, чтобы порешал.)
Шаг 3: показать что сумма синусов равна
.В принципе тут можно тригонометрически это вывести из результата для суммы косинусов.
Но на мой взгляд прозрачнее это сделать с помощью векторов.
Перепишем сумму косинусов и сумму синусов вот так:


Отсюда видно, что сумма косинусов и сумма синусов - это компоненты вектора полученного суммированием трёх единичных векторов

с углами

.
Пусть

. Найдём квадрат модуля этого суммарного вектора:

Значит сумма синусов (очевидно, что она больше нуля) равна

.