Функц.анализ

[АленаВ]

Нужно указать пример замкнутых ограниченных множеств в полном пространстве (допустим в $C[a,b]$,но можно и в другом) и непрерыных функций на них,для которых нарушаются утвержления первой и второй теорем Вейерштрасса.
Какой нибудь пример хоть...

[АленаВ]

Ну что,никто не может привести такой пример? (((

[id]

АленаВ
Да нет, Вы просто укажите хотя бы какие именно это теоремы, о чем... У Вейрштрасса много теорем, и по номерам как-то не очень вспоминается.

Если одна из теорем была об ограниченности всякой непрерывной функции на компактном множестве, то нужно взять бесконечномерное пространство, для которого компактность будет неравносильна замкнутости и ограниченности. Например, $l_2$, систему ортов в нем.

[zoo]

АленаВ писал(а):

Нужно указать пример замкнутых ограниченных множеств в полном пространстве (допустим в $C[a,b]$,но можно и в другом) и непрерыных функций на них,для которых нарушаются утвержления первой и второй теорем Вейерштрасса.
Какой нибудь пример хоть...

В $c_0$ рассмотрим множество $Q$ состоящее из последовательностей вида $a=(a_1,a_2,\ldots)$, $0\le a_n\le 1$
и функцию $f(a)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2-a_k}}$
Множество $Q$ замкнуто и ограничено, функция $f:Q\to\mathbb{R}$ непрерывна и неограничена

[АленаВ]

Zoo спасибо за пример)

id А теорема Вейерштрасса такая: пусть $X$ метрическое пространство,$A$ -компакт.Тогда $1)$ $f(x)$ ограничена на $A$ , $2)$ существуют $x1,x2 \in\ A $ : $f(x1)\leqslant f(x)\leqslant f(x2)$ для любого $x \in \ A $

[Brukvalub]

А функция

\[\frac{1}{{f(x)}}\]

из построенного zoo примера непрерывна на Q и не принимает наименьшего значения.

[АленаВ]

Brukvalub писал(а):

А функция

\[\frac{1}{{f(x)}}\]

из построенного zoo примера непрерывна на Q и не принимает наименьшего значения.

Это значит что она не подходит или к чему комментарий ?

[Brukvalub]

АленаВ в сообщении #154592 писал(а):

Это значит что она не подходит или к чему комментарий ?

Комментарий относится ко 2-й т. Вейерштрасса