2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функц.анализ
Сообщение29.10.2008, 20:47 
Нужно указать пример замкнутых ограниченных множеств в полном пространстве (допустим в $C[a,b]$,но можно и в другом) и непрерыных функций на них,для которых нарушаются утвержления первой и второй теорем Вейерштрасса.
Какой нибудь пример хоть...

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 11:53 
Ну что,никто не может привести такой пример? (((

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 14:28 
АленаВ
Да нет, Вы просто укажите хотя бы какие именно это теоремы, о чем... У Вейрштрасса много теорем, и по номерам как-то не очень вспоминается.

Если одна из теорем была об ограниченности всякой непрерывной функции на компактном множестве, то нужно взять бесконечномерное пространство, для которого компактность будет неравносильна замкнутости и ограниченности. Например, $l_2$, систему ортов в нем.

 
 
 
 Re: Функц.анализ
Сообщение30.10.2008, 16:43 
Аватара пользователя
АленаВ писал(а):
Нужно указать пример замкнутых ограниченных множеств в полном пространстве (допустим в $C[a,b]$,но можно и в другом) и непрерыных функций на них,для которых нарушаются утвержления первой и второй теорем Вейерштрасса.
Какой нибудь пример хоть...

В $c_0$ рассмотрим множество $Q$ состоящее из последовательностей вида $a=(a_1,a_2,\ldots)$, $0\le a_n\le 1$
и функцию $f(a)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2-a_k}}$
Множество $Q$ замкнуто и ограничено, функция $f:Q\to\mathbb{R}$ непрерывна и неограничена

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 18:20 
Zoo спасибо за пример)

id А теорема Вейерштрасса такая: пусть $X$ метрическое пространство,$A$ -компакт.Тогда $1)$ $f(x)$ ограничена на $A$ , $2)$ существуют $x1,x2 \in\ A $ : $f(x1)\leqslant f(x)\leqslant f(x2)$ для любого $x \in \ A $

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 18:25 
Аватара пользователя
А функция \[\frac{1}{{f(x)}}\] из построенного zoo примера непрерывна на Q и не принимает наименьшего значения. :D

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 19:24 
Brukvalub писал(а):
А функция \[\frac{1}{{f(x)}}\] из построенного zoo примера непрерывна на Q и не принимает наименьшего значения. :D

Это значит что она не подходит или к чему комментарий ? :oops:

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 19:33 
Аватара пользователя
АленаВ в сообщении #154592 писал(а):
Это значит что она не подходит или к чему комментарий ?
Комментарий относится ко 2-й т. Вейерштрасса

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group