Помогите разобраться с заблуждениями (операции с о-малыми)

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1544478 писал(а):

Это примерно то, что знает средний студент-технарь, не математик и не физик, и не студент топового ВУЗа (типа Бауманки). В принципе, что такое о-малое, там определено. Но не более. Про действия над выражениями с такими величинами ничего не говорится.

Насколько помню, нам, на физфаке, объясняли на удивление просто:
$o(x^n)$ - это всего лишь компактная запись ряда Тейлора, начиная с члена $x^n$.
Всё. После этого правила арифметических действий с выражениями, содержащими о-малое, становятся прозрачны, как слеза комсомолки. А при необходимости тривиально выводятся.

[Pphantom]

EUgeneUS в сообщении #1544486 писал(а):

Насколько помню, нам, на физфаке, объясняли на удивление просто:
$o(x^n)$ - это всего лишь компактная запись ряда Тейлора, начиная с члена $x^n$.

Тогда уж со следующего за ним, да и ряд Маклорена (сиречь Тейлора в окрестности нуля), нет?

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1544486 писал(а):

$o(x^n)$ - это всего лишь компактная запись ряда Тейлора, начиная с члена $x^n$.

В таком виде это просто неверно.

Но даже если исправить опечатку, получается всё равно не очень корректное объяснение. Даже если о-малые писать только в формуле Тейлора, эта формула справедлива в том числе и тогда, когда никакого ряда Тейлора не существует или он не сходится куда надо.

Кроме того, такая трактовка о-малых затрудняет понимание смысла формулы Тейлора (которая формула, а не ряд). При нормальной-то трактовке о-малые позволяют что-то сказать о погрешности формулы Тейлора, а при Вашей ничего о ней не говорят.

[EUgeneUS]

Pphantom в сообщении #1544487 писал(а):

Тогда уж со следующего за ним,

Да, конечно. Не дописал $+1$ в степени

Pphantom в сообщении #1544487 писал(а):

да и ряд Маклорена (сиречь Тейлора в окрестности нуля), нет?

Насколько помню, фамилия Маклорена не упоминалась. И в нуле, и в $x_0$ всё рядом Тейлора называлось. Хоть мог уже и запямятовать эти детали

[zykov]

EUgeneUS в сообщении #1544491 писал(а):

фамилия Маклорена не упоминалась

Ряд Тэйлора - в любой точке. Ряд Маклорена - тот же ряд Тэйлора, только всегда в точке 0.
Само собой, раз Тэйлор в любой точке, его и в нуле можно записать.

[mihaild]

Но если записывать не в нуле, то получится неправда: разложим $x^2$ с центром в $1$ для $n = 1$, получим $x^2 = 1 + o(1)$, что не очень похоже на правду.
Ну и может быть физикам это не очень важно, но приближениями голоморфных функций применимость символов Ландау не заканчивается. Более того, у математиков она с них даже не начинается.

[zykov]

Не в нуле пишут $o(x-x_0)$.

-- 27.12.2021, 21:01 --

mihaild в сообщении #1544496 писал(а):

разложим $x^2$ с центром в $1$ для $n = 1$, получим $x^2 = 1 + o(1)$, что не очень похоже на правду.

Почему же, это правда. Ведь $x^2$ непрерывна.

[Mikhail_K]

zykov
Это неправда, во всяком случае при $x\to 0$.

[EUgeneUS]

zykov в сообщении #1544493 писал(а):

Ряд Тэйлора - в любой точке. Ряд Маклорена - тот же ряд Тэйлора, только всегда в точке 0.

Это-то понятно. Насколько понял, если в нуле, то принято говорить всё таки "Маклорена", но я не привык

Mikhail_K
Несколько освежил остаточные знания
1. Конечно, на лекциях нам давались разные формы остаточного члена в формуле Тейлора.
2. И то, что написал выше, называется "остаточный член в формуле Тейлора в форме Пеано", и требует отдельного доказательства.
3. Конечно, запись формулы Тейлора (в том числе и с остаточным членов в форме Пеано) может оставаться справедливой, даже если:

Mikhail_K в сообщении #1544489 писал(а):

когда никакого ряда Тейлора не существует или он не сходится куда надо.

Вот только,
а) записи остаточного члена в других формах мне понадобились только для подготовке к экзамену. А запись в форме Пеано ("с о-малым") использовалась сплошь и рядом, в том числе для решения задач не только по матану, но и по физике.
б) насколько понял, у ТС возникли вопросы на тему "как строятся арифметические операции с выражениями с о-малым". Если за "о-малым" видеть "хвост ряда Тейлора", то ответы на них оказываются простыми, почти очевидными.
в) Если за "о-малым" видеть остаточный член в формуле Тейлора, это безусловно более корректно. Да и ответы на вопросы ТС оказывается немногим более сложными.

[zykov]

Mikhail_K
Вы же сами написали "с центром в 1". Значит $x$ стремится к 1, а не к 0.

-- 27.12.2021, 21:16 --

EUgeneUS в сообщении #1544501 писал(а):

Если за "о-малым" видеть остаточный член в формуле Тейлора, это безусловно более корректно

Саму нотацию o-малое можно вообще без какого-либо ряда Тэйлора использовать.
Это вообще говоря про асимптотику, про порядок малости, а не про ряды.

[mihaild]

Так, я наверное зря слишком сильно сэкономить на примере решил. Возьмем следующий порядок: $x^2 = 1 + 2x + o(x)$. Это конечно всё равно правда (если $o$ при $x \to 1$), но существенно слабее, чем могло бы быть.

[lel0lel]

В 2004 на первом курсе физфака на лекциях по матанализу подробно рассказали про нотации о-малое и О-большое, в том числе и про операции с ними. Причём это было вне разговора про остаточные члены, ряд Тейлора был всего лишь примером. Кстати, в скобках может стоять некоторая функция, определенная в малой окрестности точки $x_0$, не обязательно что-то вроде $(x-x_0)^n$, впрочем это и так ясно. Сами нотации не раз пригождались, особенно, как ни странно, О-большое. По-моему, даже без о-малого можно всегда обойтись, задавая ограничение сверху.

[zykov]

lel0lel в сообщении #1544506 писал(а):

По-моему, даже без о-малого можно всегда обойтись, задавая ограничение сверху.

В каком смысле?
Конечно можно много без чего обойтись, но часто o-малое удобнее O-большого, т.к. например $o(x)+o(x)=o(x)$, что может быть не верно для O-большого.
Обратная сторона той же медали, что O-большое больше информации даёт, что малость не какая угодно мальенькая, а именно такая. Что иногда бывает полезно.

[Mikhail_K]

zykov в сообщении #1544508 писал(а):

Конечно можно много без чего обойтись, но часто o-малое удобнее O-большого, т.к. например $o(x)+o(x)=o(x)$, что может быть не верно для O-большого.
Обратная сторона той же медали, что O-большое больше информации даёт, что малость не какая угодно мальенькая, а именно такая.

Ну Вы просто не знаете / не помните, что такое О-большое.

[lel0lel]

zykov в сообщении #1544508 писал(а):

В каком смысле?
Конечно можно много без чего обойтись, но часто o-малое удобнее O-большого, т.к. например $o(x)+o(x)=o(x)$, что может быть не верно для O-большого.

Всегда верно, другое дело если сумма была бы бесконечной, но ведь речь не об этом. Кстати, в некоторых матпакетах нотации о-малое нет, пример Wolfram. Это, конечно, не аргумент в сторону её ненужности, кто хочет и считает её удобной, пусть использует. Но, как минимум, обойтись можно и без неё.