Алгебраические структуры с n-арными операциями

[er]

bot писал(а):

er писал(а):

Стало понятнее, спасибо.
В обратную сторону допишу, тем более, намного проще для понимания. Приведенное доказательство похоже на жульничество, которое логики используют...

Не совсем понял, где Вы усматриваете жульничество - в моём скетче существования терма Мальцева или в Вашем очень подробном разборе, почему перестановочны конгруенции на индивидуальной системе, обладающей термом Мальцева? Последнее я в своём скетче даже и не помянул, привычно считая это очевидным. Аналогично, если я начну подробно расписывать очевидные для Вас топологические приколы, то Вас это тоже позабавит.

Я время от времени расписываю для себя привычные для меня топологические приколы. Иногда вот задумываешься - "А почему?".

В чем "жульничество" усмотрел. Насколько понял, свободная система над множеством $X$, это множество всех формул, полученные из изначальных термов (?) алгебраической системы с помощью подстановок, где переменные из множества $X$, профактиризованные по тождествам, определяющее (квази) многообразие. Когда находите $m(x,y,z)$, это некоторая формула, которая и ищется.

Для меня такой способ рассуждений не привычен.

Что меня всегда тормозило в алгебре, что алгебраисты работают с объектами, которые явно не погружают в ZFC. И не дают формальной аксиоматики этих объектов.

Меня всегда смущали такие понятия, как формулы, особенно, когда с набором формул работают, как с множеством.

bot писал(а):

Весь фокус в теоремах типа Мальцева состоит в том, что существования терма(ов), характеризующих некоторое свойство доказывают для определённых классов, описываемых определёнными формулами, и основная трудность состоит в их нахождении. Обратная проверка, что эти термы с тождествами, действительно обеспечивают данное свойство на любой системе, обычно тривиальна. Кроме того, в общей ситуации, нахождение подобного терма для индивидуальных систем, без каких-либо дополнительных предположений об этой системе, невозможно. Например, терма Мальцева заведомо не может быть для систем унарной сигнатуры, хотя среди них и есть системы с перестановочными конгруенциями. Или возьмём произвольную двухэлементную систему, на ней всего две конгруенции - равенство и универсальная, они перестановочны, а терм Мальцева найдётся не для всякой, например, его заведомо нет для неодноэлементной системы, в которой у каждой операции множество значений одноэлементно.

Нет, все таки вопрос про многообразия (классы), а не про конкретные а.с. (алгебраические системы). Попробую пкереформулировать вопрос..

Возмем какое-нибуть (квази)многообразие (алгеброическое). Предположим это многообразие обладает свойcтвом:
(*) пусть $(X,f_1,...,f_n)$ некая а.с. из (квази)многообразия и для любой топологии $\tau$ на $X$, согласованной с операциями $(f_1,...,f_n)$ (например, $f_i$ (раздельно) непрерывно на $(X,\tau)$), для любой конгруенции $\theta$ и для любого открытого непустого $U\in \tau$ множество $\theta U=\{y\in X: \exists x\in U (x\theta y)\}$ открыто (то есть принадлежит $\tau$).
Верно ли, что в (квази)многообразии есть терм Мальцева?

bot писал(а):

Таким образом, чтобы получить терм Мальцева для индивидуальной системы, нужны дополнительные свойства этой системы. По Мальцеву достаточным будет, если эта система окажется гомоморфным образом свободной в некотором классе системы от трёх свободных порождающих, которая сама обладает свойством перестановочности конгруенций.

Будет время посмотрю (топология не мой конёк), но уже ясно, что у Вас речь совсем о другом: Вас интересуют свойства индивидуальных систем, обладающих термом Мальцева с дополнительными топологическим свойствами.

Это тоже интересно, но прежде всего интересны (квази)многообразии (в чисто алгебраическом смысле), для которых выполняется (*)

Топологи еще рассматривают операции Мальцева для которых выполняется $m(x,y,z)\in \{x,y,z\}$. В алгебре такие свойства возникают?

Есть один чисто алгебраический факт, который доказали топологи.

Пусть $X$ множество. Обозначим через $M(X)$ подмножество свободной группы, состоящие из слов вида $x_1x_2^{-1}x_3x_4^{-1}...x_{2n}^{-1}x_{2n+1}$. Отметим, что $M(X)$ является Мальцевской а.с. с естественной операцией $m(x,y,z)=xy^{-1}z$. Если $f:X\to Y$ отображение множеств, то $f$ естественно продолжается до отображения $M(f):M(X)\to M(Y)$.

Теорема. Для любой Мальцевской а.с. $(X,m)$ существет отображение $r_{X,m}:M(X)\to X$, так что выполняется:
(1) $r_{X,m}$ ретракция, то есть $r_{X,m}(x)=x$ для всех $x\in X$;
(2) $r_{X,m}(xy^{-1}z)=m(x,y,z)$ для всех $x,y,z\in X$;
(3) если $f:X\to Y$ гомоморфизм Мальцевских пространств, то соответствующая диаграмма коммутативна, то есть $r_{Y,l}\circ M(f)=f\circ r_{X,m}:M(X)\to Y$.

Вполне неожиданная теорема. Может она алгебраистам давно известна?

Можно рассмотреть класс Мальцевских а.с., для которых эта ретракция $r_{X,m}$ является гоморфизмом Мальцевских а.с. Это будет многообразие со счетным набором определяющих тождеств. Назовем а.с. из этого многообразия r-Мальцевскими. Возникают некоторые вопросы..

Вопрос 1. Не порождается ли многообразие r-Мальцевских а.с. конечным набором тождеств?

Примерами r-Мальцевских а.с. являются группы и подмножества групп, замкнутые относительно естественной Мальцевской операции на группах. Но есть и другие примеры, которые не сводятся к этим.

На ветвях дерева существуют "хорошие" мальцевские операции, согласованные со структурой дерева. Среди прочего, для этих мальцевские операций выполняется:
(1) $m(x,y,z)\in \{x,y,z\}$;
(2) $m(x,y,z)=m(y,z,x)=m(y,x,z)$ ($x,y,z$ можно переставлять)

Не знаю, может быть все такие "деревянные" мальцевские а.с. образуют (квази)многообразие. Для таких а.с. выполняются еще некоторые тождества.

У алгебраистов подобные конструкции не возникали?

Похоже, такие мальцевские операции будут r-мальцевскими. Для проверки этого достаточно разобратся с конечными "деревянными" мальцевскими а.с. Для конечных сводится к конечному перебору вариантов. Для слов длины 5 несложно проверяется, для слов длины 7 на 80 процентов разобрался с вариантами перебора, но запутался в листах с вычисленими. Но уверенность, что все сходится для 7, есть. Думаю, должно быть верно, что эти "деревянные" операции r-мальцевские, но как доказывать, особых идей нет. Даже идея есть, программку написать, чтоб для маленьких $2n+1$ варианты перебирала, интересно таки..

Вот еще вопрос, в каких многообразиях есть мальцевский терм? Кроме групп, я знаю, в лупах есть. А еще?

[bot]

Er, понимаю, что Вы ждёте ответа, а я молчу. Просто не хочется писать по-пусту, а времени разобраться с топологией пока не нашёл. Все же немного отвечу.
Конечно, наложение дополнительной структуры на системы может оказывать сильное влияние на её свойства. Из примеров для меня близких могу привести упорядоченные системы, группы к примеру. Это ещё не топология, а теория меняется весьма существенно.
О существовании терма Мальцева. Условие перестановочности конгруенций необходимо и достаточно для такого существования, если эта перестановочность имеет место на всех системах эквационального или универсального хорнова класса (чтобы не путать применяю эти термины для наших понятий многообразие и квазимногообразие). Существование терма достаточно для перестановочности конгруенций даже для индивидуальной системы.
Иначе говоря, существование терма вытекает из алгебраических свойств класса и не зависит от того, являются ли системы топологическими или нет. Топологию в этом случае можно выбросить, или просто считать дискретной. То есть, если Вы хотите, чтобы из некоторых свойств топологии в классе вытекало существование терма Мальцева, надо чтобы из этих свойств вытекала перестановочность конгруенций на всех системах класса (вроде достаточно только на свободной системе: задаём на ней топологию и переносим её на факторы, считая все гоморфизмы открытыми).

Где есть термы Мальцева? Собственно характеризация об этом и говорит - во всех экваклассах (или ун. хорн. классах) с перестановочными конгруенциями.
К перечисленным примерам могу добавить очевидный - кольца, а лупы можно расширить до квазигрупп. В сигнатуре группоида можно взять, к примеру, многообразие, определяемое тождеством: $x(yx)=y$, но по сути - это опять квазигруппы. Понятно, что можно брать классы, в которых квазигрупповые операции не являются основными, но термально через них выражаются

er писал(а):

Что меня всегда тормозило в алгебре, что алгебраисты работают с объектами, которые явно не погружают в ZFC. И не дают формальной аксиоматики этих объектов.

Меня всегда смущали такие понятия, как формулы, особенно, когда с набором формул работают, как с множеством.

А с этим никаких проблем. Терм и формула (это разные вещи) - объекты, строящиеся конструктивно, исходя из начальных. С классами - да, это не множества, даже мощность носителей ничем не ограничена. Однако всякий носитель, разумеется, множество. Ну некоторые предпочитают говорить об языке, и вместо многообразий рассматривают эквациональные теории. Поскольку переход от класса к теории очень прост - решетка теорий дуально изоморфна решетке классов, то алгебраисты относятся к этому совершенно спокойно - всегда есть возможность переформулировать, Цена переформулировки - громоздкость, только и всего.

[er]

bot писал(а):

Er, понимаю, что Вы ждёте ответа, а я молчу. Просто не хочется писать по-пусту, а времени разобраться с топологией пока не нашёл. Все же немного отвечу.
Конечно, наложение дополнительной структуры на системы может оказывать сильное влияние на её свойства. Из примеров для меня близких могу привести упорядоченные системы, группы к примеру. Это ещё не топология, а теория меняется весьма существенно.

Эх, надеялся, алгебраисты уже все доказали. Топологические многообразия от Мальцева пошли.

bot писал(а):

О существовании терма Мальцева. Условие перестановочности конгруенций необходимо и достаточно для такого существования, если эта перестановочность имеет место на всех системах эквационального или универсального хорнова класса (чтобы не путать применяю эти термины для наших понятий многообразие и квазимногообразие).

А где про "эквационального или универсального хорнова класса" почитать, желательно популярней?

bot писал(а):

Существование терма достаточно для перестановочности конгруенций даже для индивидуальной системы.

Перестановочности конгруенций кажется очень сильным свойством. А как она применяется?

bot писал(а):

Иначе говоря, существование терма вытекает из алгебраических свойств класса и не зависит от того, являются ли системы топологическими или нет.

Ну да..

Если рассматривать топологию на а.с., то возникает новый тип задач.

Задача. Когда на топологическом пространстве существует нерерывная операция Мальцева?

Верны утверждения: непрерывная операция Мальцева есть на абсолютных ретрактах, на нульмерных метризуемых сепарабельных пространствах.

Есть утверждения типа: "слабая" алгебраическая структура + ограничение на топологию влекут существование операции Мальцева.

Например, если на счетном CW-комплексе есть бинарная операция *, с единицей e, так что x*e=e*x=x, то тогда существует непрерывная операция Мальцева.

Но я спрашивал Вас немного не об этом. Вопрос был именно о алгебраических многообразиях.

bot писал(а):

Топологию в этом случае можно выбросить, или просто считать дискретной. То есть, если Вы хотите, чтобы из некоторых свойств топологии в классе вытекало существование терма Мальцева, надо чтобы из этих свойств вытекала перестановочность конгруенций на всех системах класса (вроде достаточно только на свободной системе: задаём на ней топологию и переносим её на факторы, считая все гоморфизмы открытыми).

Да, надо посмотреть.

bot писал(а):

Где есть термы Мальцева? Собственно характеризация об этом и говорит - во всех экваклассах (или ун. хорн. классах) с перестановочными конгруенциями.
К перечисленным примерам могу добавить очевидный - кольца, а лупы можно расширить до квазигрупп. В сигнатуре группоида можно взять, к примеру, многообразие, определяемое тождеством: $x(yx)=y$, но по сути - это опять квазигруппы. Понятно, что можно брать классы, в которых квазигрупповые операции не являются основными, но термально через них выражаются

То есть, среди распространенных, все являются квазигруппами?
Понятно..

[Someone]

er писал(а):

Что меня всегда тормозило в алгебре, что алгебраисты работают с объектами, которые явно не погружают в ZFC. И не дают формальной аксиоматики этих объектов.

Меня всегда смущали такие понятия, как формулы, особенно, когда с набором формул работают, как с множеством.

Да чего там. Говорим же мы "нормальное пространство", а не "элемент класса нормальных пространств".

Вообще, в ZFC можно спокойно рассуждать о классах, несмотря на то, что никаких классов в ZFC нет. Это просто способ говорить о свойствах объектов как об объектах. Может быть, попробовать рассуждать о топологических пространствах, не употребляя слова "множество"? Я думаю, вполне можно будет обойтись без ZFC или ещё чего-нибудь подобного. Надо только немного поизвращаться.

Вообще, у меня уже очень давно возникло ощущение, что теория множеств для математики скорее вредна, чем полезна. Сам по себе теоретико-множественный подход создаёт массу проблем, специфических именно для теории множеств и малосущественных для других областей математики. Хотя для топологии язык теории множеств, конечно, удобен.

[er]

bot писал(а):

er писал(а):

Что меня всегда тормозило в алгебре, что алгебраисты работают с объектами, которые явно не погружают в ZFC. И не дают формальной аксиоматики этих объектов.

Меня всегда смущали такие понятия, как формулы, особенно, когда с набором формул работают, как с множеством.

А с этим никаких проблем. Терм и формула (это разные вещи) - объекты, строящиеся конструктивно, исходя из начальных.

Да, должно такое быть, в строгой теории. Но часто в учебниках для обучения (студентов) такие вещи игнорируются. Меня чуть ли не со школы интересовало, что такое многочлен. Я даже пытался для себя придумать ZFC-определение.

bot писал(а):

С классами - да, это не множества, даже мощность носителей ничем не ограничена. Однако всякий носитель, разумеется, множество.

Классы меня особо не пугают. К ZFC относятся.

bot писал(а):

Ну некоторые предпочитают говорить об языке, и вместо многообразий рассматривают эквациональные теории. Поскольку переход от класса к теории очень прост - решетка теорий дуально изоморфна решетке классов, то алгебраисты относятся к этому совершенно спокойно - всегда есть возможность переформулировать, Цена переформулировки - громоздкость, только и всего.

То есть два языка для одной сущности. Бывает..

[bot]

er писал(а):

Топологические многообразия от Мальцева пошли.

От него много чего пошло. Сама идея характеризации свойств систем класса возникла в работе Мальцева в Матсборнике 1954 года. С неё я, кстати, я и начал изучение его работ. Идею подхватили и каких только свойств не наописывали. А топология ... - всё-таки это вещь индивидуальная, слабо представляю, как ей придать абстрактный характер.

Цитата:

А где про "эквационального или универсального хорнова класса" почитать, желательно популярней?

Для первоначального ознакомления: А.И. Мальцев. Алгебраические системы, 1970.

Цитата:

Перестановочности конгруенций кажется очень сильным свойством. А как она применяется?

Ну сразу: сумма конгруенций (то есть наименьшая конгруенция, содержащая две данные \theta и \eta) в общем случае бесконечное объединение их произведений вида \theta \eta \theta ..., а в случае перестановочности досточно взять лишь \theta \eta Уже отсюда ясно, что это очень сильное свойство. В частности из него сразу вытекает модулярность решётки конгруенций на системах, обладающих термом Мальцева. Без оного модулярность (впрочем даже дистрибутивнось) характеризуется для классов гораздо хуже: существует некоторое количество термов, удовлетворяющих некотороым тождествам. Число термов может быть любым и заменить для конкретного случая на меньшее их число нельзя.
Повальное увлечение характеризацией конкретных свойств уже прошло, уже давно в ходу термин конгруенц-свойство и уже довольно прилично развита общая теория этого понятия.

Цитата:

Задача. Когда на топологическом пространстве существует непрерывная операция Мальцева?

Вот и индивидуальные вопросы пошли. А шут его знает - скажет алгебраист, надо у топологов спросить.

Цитата:

Например, если на счетном CW-комплексе есть бинарная операция *, с единицей e, так что x*e=e*x=x, то тогда существует непрерывная операция Мальцева.

Во-во, дополнительная структура на системе появилась, а абстрактного класса не видно. Может, конечно, и на индивидуальной системе выполняться как свойство перестановочности конгруенций, так и более сильное её свойство - иметь терм Мальцева, алгебраическая структура этого не ловит.

Цитата:

bot писал(а):

вроде достаточно только на свободной системе: задаём на ней топологию и переносим её на факторы, считая все гоморфизмы открытыми.

Да, надо посмотреть.

Не совсем точно выразился. Из структурной характеристики эквационального класса следует, что надо проверить следующее: топология естественным образом переносится на подсистемы, декартовы произведения и факторы. Вот в последнем засада: с одной стороны это обеспечивает открытость гомоморфизмов, а с другой - а кто сказал, что все гомоморфизмы открытые? Чтобы иметь право так действовать, надо как-то эту самую топологию в сигнатуру засунуть. Может быть это и возможно - не думал, жду подкрепления. Знаю одного аспиранта моего друга, который занимался подобными вопросами.

Цитата:

То есть, среди распространенных, все являются квазигруппами?

Почти, разве что ещё чуток расширить на некоторые классы типа односторонних квазигрупп (то есть деление возможно с одной стороны), но это уже надо считать малораспространённым.

[er]

bot писал(а):

Цитата:

А где про "эквационального или универсального хорнова класса" почитать, желательно популярней?

Для первоначального ознакомления: А.И. Мальцев. Алгебраические системы, 1970.

спасибо

bot писал(а):

Цитата:

Задача. Когда на топологическом пространстве существует непрерывная операция Мальцева?

Вот и индивидуальные вопросы пошли. А шут его знает - скажет алгебраист, надо у топологов спросить.

Цитата:

Например, если на счетном CW-комплексе есть бинарная операция *, с единицей e, так что x*e=e*x=x, то тогда существует непрерывная операция Мальцева.

Во-во, дополнительная структура на системе появилась, а абстрактного класса не видно.

Так я такие вопросы и не спрашиваю! Что алгебраист об этом может знать.

bot писал(а):

Цитата:

bot писал(а):

вроде достаточно только на свободной системе: задаём на ней топологию и переносим её на факторы, считая все гоморфизмы открытыми.

Да, надо посмотреть.

Не совсем точно выразился. Из структурной характеристики эквационального класса следует, что надо проверить следующее: топология естественным образом переносится на подсистемы, декартовы произведения и факторы. Вот в последнем засада: с одной стороны это обеспечивает открытость гомоморфизмов, а с другой - а кто сказал, что все гомоморфизмы открытые? Чтобы иметь право так действовать, надо как-то эту самую топологию в сигнатуру засунуть. Может быть это и возможно - не думал, жду подкрепления. Знаю одного аспиранта моего друга, который занимался подобными вопросами.

Ну, не все гоморфизмы открыты, такого (почти) не бывает. Вопрос, когда факторные гомоморфизмы открыты. На всякий случай повторю

er писал(а):

Нет, все таки вопрос про многообразия (классы), а не про конкретные а.с. (алгебраические системы). Попробую пкереформулировать вопрос..

Возмем какое-нибуть (квази)многообразие (алгеброическое). Предположим это многообразие обладает свойcтвом:
(*) пусть $(X,f_1,...,f_n)$ некая а.с. из (квази)многообразия и для любой топологии $\tau$ на $X$, согласованной с операциями $(f_1,...,f_n)$ (например, $f_i$ (раздельно) непрерывно на $(X,\tau)$), для любой конгруенции $\theta$ и для любого открытого непустого $U\in \tau$ множество $\theta U=\{y\in X: \exists x\in U (x\theta y)\}$ открыто (то есть принадлежит $\tau$).
Верно ли, что в (квази)многообразии есть терм Мальцева?

[er]

Someone писал(а):

Вообще, в ZFC можно спокойно рассуждать о классах, несмотря на то, что никаких классов в ZFC нет. Это просто способ говорить о свойствах объектов как об объектах. Может быть, попробовать рассуждать о топологических пространствах, не употребляя слова "множество"? Я думаю, вполне можно будет обойтись без ZFC или ещё чего-нибудь подобного. Надо только немного поизвращаться.

Где то как то можно.. Но я занимаюсь по большей частью тем, что иногда называют теоретико множественной топологией. Если ZF выбросить, останется совсем немного.

Someone писал(а):

Вообще, у меня уже очень давно возникло ощущение, что теория множеств для математики скорее вредна, чем полезна. Сам по себе теоретико-множественный подход создаёт массу проблем, специфических именно для теории множеств и малосущественных для других областей математики. Хотя для топологии язык теории множеств, конечно, удобен.

А какие проблемы теория множеств создает?
Насколько понимаю, ZF фундамент всей содержательной математики.

[khva]

er писал(а):

Ну, не все гоморфизмы открыты, такого (почти) не бывает. Вопрос, когда факторные гомоморфизмы открыты. На всякий случай повторю

er писал(а):

Нет, все таки вопрос про многообразия (классы), а не про конкретные а.с. (алгебраические системы). Попробую пкереформулировать вопрос..

Возмем какое-нибуть (квази)многообразие (алгеброическое). Предположим это многообразие обладает свойcтвом:
(*) пусть $(X,f_1,...,f_n)$ некая а.с. из (квази)многообразия и для любой топологии $\tau$ на $X$, согласованной с операциями $(f_1,...,f_n)$ (например, $f_i$ (раздельно) непрерывно на $(X,\tau)$), для любой конгруенции $\theta$ и для любого открытого непустого $U\in \tau$ множество $\theta U=\{y\in X: \exists x\in U (x\theta y)\}$ открыто (то есть принадлежит $\tau$).
Верно ли, что в (квази)многообразии есть терм Мальцева?

Извините, что вмешиваюсь...

На вопрос в данной формулировке ответ будет отрицательным. Если не накладывать никаких ограничений на выбор системы из класса, то о классе можно отвечать только на вопросы о несуществовании. Ведь всегда можно рассматривать тривиальную систему

[Someone]

er писал(а):

Но я занимаюсь по большей частью тем, что иногда называют теоретико множественной топологией. Если ZF выбросить, останется совсем немного.

А я чем занимаюсь? Ей же, родимой. Бикомпактные расширения, бикомпактификации отображений,... Да, без теории множеств кардинальнозначные инварианты пропадут. Начисто. И слава Богу. Где они ещё встречаются, кроме самой общей топологии? Вон в гомотопическую топологию загляните, или в дифференциальную: много ли там кардинальнозначных инвариантов? А в математическом анализе?

er писал(а):

А какие проблемы теория множеств создает?
Насколько понимаю, ZF фундамент всей содержательной математики.

В первую очередь, это проблемы, связанные с мощностью и в подавляющей части математики не имеющие никакого смысла.

И Вы неправильно понимаете, что ZF является фундаментом чего либо. Как может быть фундаментом то, что само висит в воздухе? Теория множеств имеет удобный язык и позволяет строить модели объектов, изучающихся в различных областях математики - и только. Однако вместе со своими моделями и языком она приносит и специфические именно для неё проблемы. Правда, нигде, кроме общей топологии, они не расцвели столь пышным цветом, но это вызвано особенностями предмета общей топологии. То же могло бы произойти и в алгебре, но алгебраисты как-то устояли. А тоже могли бы начать заниматься всякими кардинальнозначными характеристиками.

Не подумайте, что я противник теории множеств. Это было бы странным при моей математической специализации. Однако мне хотелось бы посмотреть на общую топологию без теории множеств и без теоретикомножественных проблем. Первоначальным предметом общей топологии являются, как мне кажется, всё-таки не кардинальнозначные инварианты, а идеи близости и непрерывности.

[Руст]

Нечто похожее я расписал в ещё невышедшей статье: "Многообразия непрерывных структур". Универсальные алгебры можно рассматривать как структуры над произьвольной категорией, сохраняющих определённые термы (операции и тождества) слева направо. Аналогично непрерывные структуры можно рассматривать как двойственные к ним образования, сохраняющие котермы справа налево. Если изучать непрерывные структуры над произвольной категорией их теория будет двойственной к теории универсальных алгебр. При конкретизации над категорией множеств появляются специфические различия, связанные с отсутствием самодвойственности в теории категории. Поэтому, надо изучать общую топологию как структуру над топосами.

[er]

khva писал(а):

Извините, что вмешиваюсь...

На вопрос в данной формулировке ответ будет отрицательным. Если не накладывать никаких ограничений на выбор системы из класса, то о классе можно отвечать только на вопросы о несуществовании. Ведь всегда можно рассматривать тривиальную систему

Тут вопрос не о произвольном классе, а о многообразии, то есть классе а.с. с "одинаковыми" операцими. Примеры многообразий в этом смысле: группы, групоиды, кольца и т.п.

В тривиальной (одноточечной?) системе все хорошо.

[er]

Someone писал(а):

er писал(а):

Но я занимаюсь по большей частью тем, что иногда называют теоретико множественной топологией. Если ZF выбросить, останется совсем немного.

А я чем занимаюсь? Ей же, родимой. Бикомпактные расширения, бикомпактификации отображений,... Да, без теории множеств кардинальнозначные инварианты пропадут. Начисто. И слава Богу.

Сейчас, пожалуй, кардинальнозначными инвариантами мало кто занимается. Но даже эта теория весьма содержательна, если ограничится маленькими кардиналами - счетным, континуум, первый несчетный.

Разве можно общую топологию представить без континуума Суслина, теоремы Архангельского (о мощности компактов с первой аксиомой счетности) и т.п.?

Кардинальная арифметика между \aleph_0 и 2^{\aleph_0} достаточно во многих отраслях математики всплывает, а она непосредственно завязана на теорию множеств.

Someone писал(а):

Где они ещё встречаются, кроме самой общей топологии? Вон в гомотопическую топологию загляните, или в дифференциальную: много ли там кардинальнозначных инвариантов? А в математическом анализе?

Дискриптивная теория множеств и матане используется, собственно из него пошла.

Someone писал(а):

er писал(а):

А какие проблемы теория множеств создает?
Насколько понимаю, ZF фундамент всей содержательной математики.

В первую очередь, это проблемы, связанные с мощностью и в подавляющей части математики не имеющие никакого смысла.

И Вы неправильно понимаете, что ZF является фундаментом чего либо. Как может быть фундаментом то, что само висит в воздухе?

Ну, вроде другого фундамента нет.

Someone писал(а):

Теория множеств имеет удобный язык и позволяет строить модели объектов, изучающихся в различных областях математики - и только. Однако вместе со своими моделями и языком она приносит и специфические именно для неё проблемы. Правда, нигде, кроме общей топологии, они не расцвели столь пышным цветом, но это вызвано особенностями предмета общей топологии. То же могло бы произойти и в алгебре, но алгебраисты как-то устояли. А тоже могли бы начать заниматься всякими кардинальнозначными характеристиками.

Как только начинаем рассматривать произвольные подмножества натуральных чисел, так сразу возникает теория множеств с букетом своих проблем, кардинальной арифметикой между \aleph_0 и 2^{\aleph_0}, разнообразными расширениями ZFC, форсингом и т.п.

К примеру рассмотрим

Гипотеза. Пусть $L$ банохово просстранство, $(L,week)$ нормально ($L$ нормально в слабой топологии) и единичный шар в $(L^*,week^*)$ сепарабельно (единичный шар в сопряженном к $L$ пространстве сепарабелен в слабой ${}^*$) топологии.

Эта гипотеза не зависит от ZFC.

Даже в учебниках по функану появляются большие кардиналы.

Someone писал(а):

Не подумайте, что я противник теории множеств. Это было бы странным при моей математической специализации. Однако мне хотелось бы посмотреть на общую топологию без теории множеств и без теоретикомножественных проблем. Первоначальным предметом общей топологии являются, как мне кажется, всё-таки не кардинальнозначные инварианты, а идеи близости и непрерывности.

Да, но как только мы начинаем считать, хотя бы до \aleph_0, то сразу же.. Бикомпактность - кончность. А если даже в сторону финальной компактности двинутся, так сразу проблемы.

[Approximator]

Вопрос участникам дискуссии:

Дайте пожалуйста ссылки на литературу (желательно из колхозного списка) где бы рассмотрению n-полугрупп и n-групп (n>2) уделялось значительное внимание - особый интерес представляют полугруды, груды, 4-полугруппы и 4-группы, а так же алгебры с тернарным и кватернарным умножением.

[Дядя Фёдор]

lofar писал(а):

Пусть $X$ --- множество. Рассмотрим совокупность $G$ всех функций $f\colon X^2\to X$. Определим тернарную опреацию $(\cdot,\cdot,\cdot)$ на $G$. Для $f,g,h\in G$ полагаем

$$ (f,g,h)(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)). $$

По-моему, эта операция естественным образом не выражается через бинарные. Я видел работу по криптографии где такие операции играли определенную роль.

Отмечу, что приведенный пример универсален, в том смысле, что любая алгебраическая структура с тернарной операцией вкладывается в $G$ (при соответствующем выборе $X$).

Поправьте меня пожалуйста если я чего не понял --
расмотрим многжество всех пар {x, y} и для каждой такой пары поставим в соответствие число Q(x,y)= z = f(g(x,y),h(x,y)) это же естественное выражение и бинарная операция, в криптографии может имедось ввиду, что трудно подобрать полином для выражения Q(x,y)