Задача на колебания с колесом

[Sakura]

Определить период колебаний переднего колеса велосипеда, поднятого в вертикальное положение. Колесо состоит из обода, массу которого m = 3 кг можно считать равномерно распределенной по окружности с радиусом
R = 35 см, и из укрепленного на ободе вентиля (m_2 = 50 г). Моментом инерции спиц и втулки пренебречь.

Подскажите, пожалуйста, с чего начинать решать эту задачу? Я не представляю даже с какой стороны к ней подступиться.

[chiba]

Sakura в сообщении #154402 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начинать решать эту задачу? Я не представляю даже с какой стороны к ней подступиться.

Надо взять основное уравнение динамики вращательного движения и записать его для данного конретного случая. В результате получится уравнение колебаний.

[A.G.]

chiba писал(а):

Sakura в сообщении #154402 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начинать решать эту задачу? Я не представляю даже с какой стороны к ней подступиться.

Надо взять основное уравнение динамики вращательного движения и записать его для данного конретного случая. В результате получится уравнение колебаний.

Проще записать кинетическую энергию вращательного движения и потенциальную поднятого вентиля.

[Pyotr_]

chiba писал(а):

Sakura в сообщении #154402 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с чего начинать решать эту задачу? Я не представляю даже с какой стороны к ней подступиться.

Надо взять основное уравнение динамики вращательного движения и записать его для данного конретного случая. В результате получится уравнение колебаний.

Полагаю, речь идет о малых колебаниях.

[chiba]

Pyotr_ в сообщении #154413 писал(а):

Полагаю, речь идет о малых колебаниях.

Сейчас нужно просто записать уравнение. А до малости колебаний дело дойдет.

[Zai]

$(m+m_2)R^2 \ddot {\phi}+m_2gRsin \phi =0
\phi =0 в самой нижней точке колеса.

[Sakura]

Ребята, а можно очень подробно объяснить? Я не понимаю, ведь надо найти период колебаний, а это T=2\pi/\omega_0, значит нужно найти \omega_0 - это циклическая частота колебаний. Ее можно найти составив уравнение колебаний. У нас 2 тела с одинаково направленными колебаниями, значит общим уравнением, которое нам надо найти, это сумма колебания для колеса и колебания для вентиля. Из этого следует, что нам надо составить уравнение для колеса и уравнение для вентиля. Но как? Как связано уравнение энергии и уравнение колебаний? У меня в учебнике полстранички всего про энергию и то, написано какими-то скачками с места на место, выводы непонятно откуда взявшиеся. Я в замешательстве. Помогите, пожалуйста. Объясните. Я хочу понять.

[peregoudov]

Sakura в сообщении #154638 писал(а):

У нас 2 тела

Тело у нас одно. Твердое тело. Возьмите учебник и прочтите, что это такое. Познакомьтесь с механикой твердого тела, в частности, с уже упоминавшимся уравнением вращательного движения.

Sakura в сообщении #154638 писал(а):

У меня в учебнике полстранички всего

Возьмите нормальный учебник по общей физике, например, этот
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 975ru.djvu

[Архипов]

Sakura в сообщении #154638 писал(а):

У меня в учебнике полстранички всего про энергию и то, написано какими-то скачками с места на место, выводы непонятно откуда взявшиеся. Я в замешательстве. Помогите, пожалуйста. Объясните. Я хочу понять.

* Найти период колебаний маятника, если известна зависимость $a(x) = m*g*R*sin(b)/(m+M)$. Даны амплитуда колебания А и начальная скорость Vo=0. Дана "тяготеющая" масса 0,05 кг и "инертная" масса 3,05 кг. Силу тяготения делим на массу - будет ускорение.

1. Из определений скорости $v=dx/dt$ и ускорения $a=dv/dt$ v(x) получаем дифференциальное уравнение $v(x)*dv(x) = a(x)*dx$ (0).

2. Подставляем в неё зависимость $a(x) = m*g*R*sin(b)/(m+M) =0,05*10*0,35*x/(3,05)=0,574*x$. где $x=sin(b)$ то есть вместо синуса угла берем сам угол (замечательный предел $sin(b)/b=1$). Для удобстьва восприятия заменил b на х. Интегрируя полученное уравнение $v(x)*dv(x) =0,574*x*dx$ с разделенными переменными, получим неопределенные интегралы $ v^2(x)/2 = 0,574*x^2/2$.

3. Получаем определенные интегралы $v^2(x)=0,574* (A^2-x^2)$, где верхние пределы взяты из начальных условий ( А , Vo=0), а нижние обозначены символическими переменными (v, x). Таким способом получена новая функция v(x), но она у нас в квадрате. Воспользуемся понятием вложенной функции и, упростив левое выражение, усложним правое: $v(x) =(0,574* (A^2-x^2))^0^5$.

4. Для вывода формулы времени подставляем в другую матрицу ($dt(x) = dx/v(x)$), полученную в предыдущем шаге функцию $v(x)$. Определенный интеграл для пределов (0<x<A) – табличный: $t(x) = 0,758* arcsin(x/A) = 0,758*Pi/2$.

5. Период колебаний будет $T = 4*t = 1,52*Pi$. Если требуется вывод уравнения движения вида x(t), то находим обратную функцию от ранее полученной: $ x(t) = 1/t(x) = A*sin(w*t)$.

Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода T, исходя из готовой функции $x= A*sin(w*t)$, определяющей гармонические колебания. С подстановкой $w=(k/m)^0^5$, не всякому понятной.

[chiba]

A.G. в сообщении #154411 писал(а):

Проще записать кинетическую энергию вращательного движения и потенциальную поднятого вентиля.

Думаю, что не проще. Ведь в данном случае цель не просто решить задачу красиво и эффектно, а выработать у студента определенные навыки при изучении конкретной темы. Поскольку я полагаю, что эта задача возникла по теме «Динамика вращательно движения», то и действовать надо в рамках этой темы.

Sakura в сообщении #154638 писал(а):

Ребята, а можно очень подробно объяснить?

Давайте пойдем по порядку.
Что нужно найти? Период свободных колебаний системы. Для этого надо узнать частоту свободных колебаний.
Прим. 1. Думаю, что термин "свободные (собственные) колебания" должен быть знаком из стандартного курса общей физики. Если нет, то это колебания системы, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из равновесия. Кроме этого бывают еще вынужденные колебания – это когда на систему действует периодическая внешняя сила и автоколебания – это вынужденные колебания, в которых внешняя сила управляется нашей системой (например, в механических часах происходят автоколебания).
Свободные же колебания в свою очередь делятся на незатухающие и затухающие. В нашем случае коэффициента затухания не дано, значит наши колебания должны быть незатухающими
Далее. Чтобы узнать частоту свободных незатухающих колебаний нужно записать уравнение свободных незатухающих колебаний. Возникает вопрос – откуда его взять?
Ответ простой – раз система колеблется, то уравнение движения системы и должно быть уравнением свободных незатухающих колебаний.
Вот теперь нам нужно написать уравнение движения системы. Для этого выясняем тип движения – это вращательное движение
Прим. 2. В университетском курсе нерелятивистской классической механики изучается 2 типа движения – поступательное и вращательное. Поступательное движение описывается с помощью динамики Ньютона, где уравнение движения записывается с помощью II закона Ньютона. Вращательное движение описывается с помощью динамики вращательного движения, где уравнение движения записывается с помощью основного уравнения вращательного движения
Итак, поскольку наше движение вращательное, то надо записать основное уравнение вращательного движения. В общем виде его можно записать так:
$dL=N dt (в общем виде уравнение векторное)
Здесь $L – момент импульса системы, $N – результирующий момент сил, действующий на систему.
Основное уравнение вращательного движения говорит, что момент силы $N, действующий на систему в течение времени $dt, изменяет момент импульса системы на величину $dL
Теперь для нашей задачи остается найти $L и $N
Рассмотрим, что собой представляет система. Она состоит из колеса и грузика, прикрепленного к ободу. Поскольку моменты импульса и силы величины аддитивные, то можно найти их отдельно для колеса и отдельно для грузика, а потом сложить.
Думаю, что это нужно попытаться проделать самостоятельно и записать полученное уравнение. Дальше уравнение придется потом упрощать, но это уже будет следующий этап.

Sakura в сообщении #154638 писал(а):

Как связано уравнение энергии и уравнение колебаний?

Любое колебательно движение связано с перекачкой энергии из одного вида в другой (например, потенциальной в кинетическую и обратно или электрической в магнитную и обратно). Исходя из этого написав закон сохранения энергии можно решать тот или иной тип задач, в том числе и на колебания. Если хотите обсудить этот аспект, то давайте его обсудим на примере решения данной задачи, которое получим из уравнения движения. А пока не забивайте голову и действуйте по порядку.

2 Архипов. Не сомневаюсь, что большинство посетителей форума умеют решать стандартные учебные задачи по физике, но думаю, что не стоит поощрять потребительское отношение к форуму, тем более у тех, кто хочет и может разобраться в теме, а не просто закопипастить решение

[Zai]

Sakura писал(а):

T=2\pi/\omega_0

$(m+m_2)R^2 \ddot {\phi}+m_2gRsin \phi =0
Для малых колебаний - это колебание физического маятника.
$(m+m_2)R^2 \ddot {\phi}+m_2gR\phi =0
Подставляем $ \phi(t) =a_0sin\omega_0t
$(m+m_2)R^2(-a_0{\omega_0}^2sin\omega_0t)+m_2gRa_0sin\omega_0t =0
${\omega_0}^2=\frac {m_2gR} {(m+m_2)R^2}
${\omega_0=\sqrt{\frac {m_2g} {(m+m_2)R}}
T=2\pi/\omega_0=2\pi \sqrt{\frac {(m+m_2)R}{m_2g} }
При m=0, l=R, получаем известное соотношение для периода колебаний математического маятникаT=2\pi \sqrt{\frac {l}{g} }

[Sakura]

Архипов, где нам дана амплитуда и начальная скорость в задаче?
Во втором пункте почему у Вас получилось 0,576. Если перемножить и разделить то, что Вы написали, то получается 0,056, а значит и итоговый ответ не такой?
Почему Вы в третьем пункте меняете x^2 на A^2-x^2

Zai, а зачем Вы в конце упомянули про математический маятник, если у нас вращательное движение?

[Zai]

Период колебаний, который Вам необходимо определить как раз колебательное движение. Последнее выражение, которое я Вам привел - проверка окончательной формулы для периода. Если у Вас масса обода равна нулю, то Ваш физический маятник превращается в математический. Ценность Вашего научного результата не в том, что Вы вывели новую для Вас формулу, но и в том, как она соотносится с другими более простыми.